Distribuzioni temperate

[angelodps-votailprof]

Salve come faccio a capire se la funzione t*sen^2t definisce una distribuzione temperata?

[Ska1]

Una distribuzione $u \in D'(\Omega)$ si dice temperata se $\forall {v_k} \in D(\Omega)$ tale che $v_k \rightarrow 0$ in $S(\Omega)$ si ha che $ \rightarrow 0$

[angelodps-votailprof]

ma questa definizione come può essere applicata alla funzione scritta sopra?

[Ska1]

Il fatto che ci sia $sin^2(t)$ non interessa, infatti

$\int_\RR t sin^2(t) v_k(t) dt \le \int_\RR t v_k(t) dt = \int_{|t| < R} t v_k(t) dt + \int_{|t|>R} t v_k(t) dt$

Il modulo del primo integrale possiamo maggiorarlo con $"sup"_{|t| 0$ in $S(\R)$ allora si ha la convergenza uniforme a zero di $v_k$, e quindi quel valore tende a zero.

Per quanto riguarda il secondo integrale, maggioriamo il suo modulo con $\int_{|t| > R} 1/t^2 |t^3 v_k(t)| dt < "sup"_{|t|> R} |t^3 v_k(t)| \int_{|t| > R} 1/t^2 dt = M "sup"_{|t|> R} |t^3 v_k(t)|$ e convergendo a zero in $S(\R)$ $v_k$ si ha la convergenza uniforme a zero anche di $t^3 v_k(t)$

[angelodps-votailprof]

Se invece volessi dimostrare che la suddetta funzione è a crescenza lenta cosa dovrei fare?

[Ska1]

funzioni a crescita lenta sono funzioni la cui rapidità di crescita è polinomiale, in questo caso $|t \sin^2(t)| < |t|$ quindi l'andamento è al più polinomiale

[angelodps-votailprof]

grazie mille