Da potenziale a campo

[Petruccioli1]

Salve a tutti

Sono incappato Nel seguente problema

Ho il potenziale associato a un dipolo V=kp*r/r^3

Da cui deriva il campo E=k(3p*r*r/r^5 - p/r^3)

(in grassetto i vettori)

Nota la relazione E=-grad(V) dovrei essere in grado di ricavare E a partire da V
Ma nn so farlo... Forse perchè non mi è chiaro come derivre un vettore.. Ci sono stato su unpó ma non riesco proprio...

Grazie a chi vorrà aiutarmi

[enr87]

puoi usare il gradiente in coordinate polari, che sinceramente non ricordo mai tranne la prima componente (semplicemente fai la derivata rispetto ad r del potenziale, cambiata di segno).
altrimenti in coordinate cartesiane al posto di r (scalare) ci metti la norma di x, che è il vettore posizione, ma fare le derivate in questo caso è più rognoso.

[Petruccioli1]

le derivate polari del potenziale sono :


$\partial$V/$\partial$r

$\partial$V/$\partial$$\vartheta$

$\partial$V/$\partial$$\varphi$ (quest'utima sempre nulla, il potenziale del dipolo non dipende da $\varphi$)

ok..quindi penso che potrei scrivere il E=($\partial$V/$\partial$r,$\partial$V/$\partial$$\vartheta$,$\partial$V/$\partial$$\varphi$)

come faccio a far coincidere questo campo con quello scritto prima???

[Petruccioli1]

∂ V/∂ r= 2kpcosϑ/r^3

∂ V/∂ ϑ=-kpsinϑ/r^2

∂ V/∂ φ=0

[enr87]

stai sbagliando la 2^ e 3^ componente, ti consiglio di guardare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gradiente

ti interessa il gradiente in coordinate sferiche (polari in 3d).
la componente r del campo è corretta come la ricavi, l'altra che hai scritto sopra è una forma equivalente (basta che fai i prodotti scalari e te ne accorgi subito).

[cyd1]

in coordiante polari $nabla (cos theta)/(r^3) = -(2 cos theta)/r^3 hat(r) - 1/r^3 sin theta hat(theta)$
quindi $vec(E) = p/(4 pi epsilon) ((2 cos theta)/r^3 hat(r) + (sin theta)/r^3 hat(theta))$
in coordinate cartesiane basta che sostituisci.