Convoluzione tra due segnali tramite Fourier

[Vornel]

La convoluzione è fatta bene, solo che non so antritrasformare
I segnali sono:
\(\displaystyle x(t) = cos(2t) \)
\(\displaystyle y(t) = e^{-2t}u(t) \)
\(\displaystyle X(f) = \frac{\delta(f-\frac{1}{\pi})}{2} + \frac{\delta(f+\frac{1}{\pi})}{2} \)
\(\displaystyle Y(f) = \frac{1}{2+2j\pi f} \)
La convoluzione è uguale al prodotto tra \(\displaystyle X(f) \) e \(\displaystyle Y(f) \), ma a questo punto non so antitrasformare xD
Sono sicuro che il numero complesso al denominatore diventa in qualche modo un esponenziale che viene moltiplicato a \(\displaystyle X(f) \), in questo modo ottengo poi un coseno sfasato, solo che non so come procedere. Aiutino?

[nasmil]

EDIT
ops non mi sono accorto che non hai scritto la convoluzione, scrivi quanto viene la convoluzione per te, ho editato il messaggio precedente, dicendo cose inutili.

[Vornel]

"Nasmil":EDIT
ops non mi sono accorto che non hai scritto la convoluzione, scrivi quanto viene la convoluzione per te, ho editato il messaggio precedente, dicendo cose inutili.

Dovrebbe essere:
\(\displaystyle Z(f) = \frac{\delta(f-\frac{1}{\pi})}{4+4j\pi f} + \frac{\delta(f+\frac{1}{\pi})}{4+4j\pi f}
\)
Potrebbe aiutarmi separare la parte reale da quella immaginaria?

[nasmil]

Credo che tu possa scrivere che:
$ Z(f) = 1/2 Z(f-1/pi) + 1/2 Z(f+1/pi) $

Quindi in pratica nel tempo ottieni:
$ z(t) = 1/2 z(t) e^(j2t) + 1/2 z(t) e^(-j2t) $
Anche se questo poi ti darà il segnale di partenza perché $ e^(j2t) = 1 $

[nostradamus19151]

In base a quale proprietà posso scrivere ciò? E poi come dovrei disegnare z(t)?

[nasmil]

Quando tu moltiplichi qualcosa per la delta di Dirac, quel qualcosa va a concentrarsi nel punto dove si trova la delta.

Poiché il segnale di z(t), dovrebbe essere uguale al segnale di ingresso, è come il segnale x(t): un esponenziale monolatero che tende a 0 asintoticamente.