[Controlli Automatici] Scrivere le equazioni di stato

[Shika93]

Come scrivo l'equazione di ingresso-stato di questo circuito?



Io ipotizzo le tre correnti $I_R$ la corrente sulla prima resistenza, che si divide al nodo; $I_(L_1)$ la corrente sulla bobina 1 e $I_(L_2)$ quella sulla bobina 2.
Quindi $I_R=I_(L_1)+I_(L_2)$

So che alla fine in sti esercizi qua basta sapere 3 formule: $V=RI$, $C\dotV=I_c$, $L\dotI=V_l$

Detto questo andrei a sostituire nell'equazione di kirchoff.

$u -V_r/R - V/L_1 - V/L_2$ poi non so come continuare...

Ho anche pensato di usare l'equazione alla maglia esterna,
$u-V_R-V_R-V_(L_2)=0 => u-RI_R-RI_R-L_2\dotI=0 => u-\dotI(2R-L2)=0 => \dotI=U/(2R-L_2)$
E così dovrei aver ricavato l'equazione $\dotx(t)=1/(2R-L_2)x(t)+u(t)$

E' giusto? Perchè se provo con le correnti poi non riesco ad arrivare in fondo?

[Nietzsche610]

Ciao!
Bé innanzitutto gli induttori sono due, quindi le variabili di stato saranno due, cioè le due correnti che scorrono negli induttori. Il sistema si presenterà dunque nella forma:

$((\dot(x_1)),(\dot(x_2)))=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((x_1),(x_2))+((\alpha),(\beta))u$,

dove con $x_1$ e $x_2$ intendo rispettivamente la corrente nel primo e nel secondo induttore.

E' una forma alla quale arrivi facilmente, basta applicare due KVL, prova a ragionarci un po' su.

[Shika93]

Quindi scrivendo le equazioni per esempio alle due maglie interne:
$u-V_r-V_(L_1)=0$
$V_(L_1)-V_R-V_(L_2)=0$

e di conseguenza se non ho sbagliato,

$\dotI_1=(U-RI_1)/L_1$

$\dotI_2=(RI_2)/(L_1-L_2)$

dovrei avere come equazioni di stato:

$\dotx_1(t)=-(RI_1)/L_1x_1(t)-1/L_1U(t)$

$\dotx_2(t)=(RI_2)/(L_1-L_2)x_1(t)$

dove la corrente $I_1$ è quella sulla prima resistenza R, e la corrente $I_2$ è quella sulla resistenza in serie alla bobina.

M'era venuto il dubbio "due bobine, due equazioni", solo che vedendo esserci due soli nodi, con la KVL faccio n-1 equazioni e quindi ne avevo scritta solo una. Lapsus della sera probabilmente...xD

Mi puoi confermare che quelle sono le due equazioni di stato?
Di conseguenza la matrice A è un formata da
$[[-(RI_1)/L_1,0],[(RI_2)/(L_1-L_2),0]]$
? Non m'è mai capitato di vederne una con una colonna vuota.

[Nietzsche610]

Le equazioni alle maglie sono giuste, ma c'è qualcosa che non va.

La KVL sulla maglia a sinistra fornisce: $u-R(x_1+x_2)-L_1\dot(x_1)=0$.
La KVL sulla maglia a destra, invece: $L_1\dot(x_1)-Rx_2-L_2\dot(x_2)=0$.

Sostituendo e rielaborando un attimo ottieni:

$\{(L_1\dot(x_1)=-Rx_1-Rx_2+u),(L_2\dot(x_2)=-Rx_1-2Rx_2+u):}$, da cui

$((\dot(x_1)),(\dot(x_2)))=-R((1/L_1,1/L_1),(1/L_2,2/L_2))((x_1),(x_2))+((1),(1))u$.

[Shika93]

Ah si, mi sono perso l'equazione al nodo.

Quindi in sostanza per scrivere l'equazione di stato di un generico circuito, devo avere un numero di equazioni alle maglie, quanti sono condensatori e bobine, giusto?

Grazie di tutto!

[Nietzsche610]

"Shika93":Quindi in sostanza per scrivere l'equazione di stato di un generico circuito, devo avere un numero di equazioni alle maglie, quanti sono condensatori e bobine, giusto?

Sì, esatto.

"Shika93":Grazie di tutto!

Prego!

[Shika93]

Scusa se rompo di nuovo. Ho un esercizio analogo e vorrei vedere se ho capito bene.



L'esercizio mi chiede le relazioni ingresso-stato e stato-uscita.

Ok. Anche qui ho due bobine, ciò significa due equazioni di stato più l'equazione di uscita.

Ho fatto la KVL alla maglia esterna:$U-V_(R_1)-V_(L_1)-Y=0$
e alla maglia più interna con L2, R2 e R3: $-V_(L_2)-V_(R_2)-V_(R_3)=0$
Quindi le due equazioni di stato dovrebbero essere

$\{(U-R_1(x_1+x_2)-L_1\dotX_1-Y=0),(-L_2dot\X_2-R_2(x_1-x_2)-R_3(-x_1+x_2)=0):}$

Per l'uscita ho un dubbio però. La $Y$ compare già nell'equazione di stato e non mi convince...Inoltre se si parlasse di tensione, direi a occhi chiusi che $Y=V_(R_3)$ quindi basta dire $Y=R_3(-x_1+x_2)$?