[Controlli Automatici] Risposta a regime
Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $
Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $
Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.
Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $
Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $
Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.
Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie
Risposte
Si è corretto ( non ho controllato le fdt ), ma sembra corretto.
La risposta del sistema è la somma della risposta dovuta al riferimento e della risposta dovuta al disturbo. Fatta questa somma ne fai il limite per il regime.
La risposta del sistema è la somma della risposta dovuta al riferimento e della risposta dovuta al disturbo. Fatta questa somma ne fai il limite per il regime.
Il mio dubbio nasce perché l'esercizio originario prevedeva sul ramo diretto, invece di $ 2/(s+1) $, un $ k/(s+1) $ e lo studio della stabilità al variare di k.
Il sistema diventava instabile per $ k>1/50 $.
Con questi calcoli l'errore a regime mi viene piccolissimo, ma $k=2$ non dovrebbe rendermi il sistema instabile?
Il sistema diventava instabile per $ k>1/50 $.
Con questi calcoli l'errore a regime mi viene piccolissimo, ma $k=2$ non dovrebbe rendermi il sistema instabile?
Se hai fatto bene i calcoli, si dovrebbe essere instabile.
Fai una cosa, posta l'esercizio originario e vediamo un pò
Fai una cosa, posta l'esercizio originario e vediamo un pò
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$y''(t)+2⋅y'+y(t)=u(t)$
1) studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso al variare di K;
2) Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali $r(t)=(4+sin(t))⋅δ_(−1)(t)$ e $d(t)=0.2⋅δ_(−1)(t)$
3) Per la fdt P(s) individuare i modi di evoluzione e tracciarne l'andamento qualitativo
$y''(t)+2⋅y'+y(t)=u(t)$
1) studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso al variare di K;
2) Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali $r(t)=(4+sin(t))⋅δ_(−1)(t)$ e $d(t)=0.2⋅δ_(−1)(t)$
3) Per la fdt P(s) individuare i modi di evoluzione e tracciarne l'andamento qualitativo
1) Il sistema risulta stabile per $ 0
Al punto 2 mi sono dimenticato di scrivere che il calcolo della risposta a regime va fatta per $K=2$.
Quindi lo richiede la traccia, stranamente.. Probabilmente dovrei rispondere che l'errore diverge senza fare calcoli.
Ma le fdt dei segnali di ingresso che ho determinato vanno bene?
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Vorrei sapere se la trasformazione che ho fatto va bene
Quindi lo richiede la traccia, stranamente.. Probabilmente dovrei rispondere che l'errore diverge senza fare calcoli.
Ma le fdt dei segnali di ingresso che ho determinato vanno bene?
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Vorrei sapere se la trasformazione che ho fatto va bene
Cosa curiosa...ho calcolato la risposta del sistema portandomi dietro $k$ e stranamente se metto $k=2$ la risposta non diverge. Hmm devo ricontrollare meglio la cosa.
Cmq si le trasformazioni sono corrette ed anche $P(s)$ lo è
Cmq si le trasformazioni sono corrette ed anche $P(s)$ lo è
ok si trova, avevo sbagliato un passaggio finale. Con $k=2$ l'uscita diverge
Io mi ritrovo a risolvere questi limiti (per $K=2$)
$ lim_(s->0) s*(4/s+1/(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801)=lim_(s->0) s*(4*s^2+s+4)/(s*(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ lim_(s->0) s*0.2/s*(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
ottengo però valori piccoli, non diverge l'uscita
$ lim_(s->0) s*(4/s+1/(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801)=lim_(s->0) s*(4*s^2+s+4)/(s*(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ lim_(s->0) s*0.2/s*(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
ottengo però valori piccoli, non diverge l'uscita
Strani questi limiti che ti trovi. Rifacciamoli assieme; la risposta del sistema è la somma delle due risposte. Quindi:
1) la risposta dovuta al riferimento vale:
$ Y_R(s)=R(s)(k/(s+1)1/(s+1)^2)/(1+k/(s+1)1/(s+1)^(2)400)=R(s)(k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)=(4/s+1/(s^2+1))((k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)) $
semplificandola un pò viene:
$ Y_R(s)=(4/s+1/(s^2+1))((k)/((s+1)^3+(400k))) $
2) la risposta dovuta al disturbo vale:
$ Y_D(s)=D(s)1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3)=0.2/s1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3) $
Se ti trovi ( ammesso che io non abbia commesso errori ), sommale e fanne il limite
PS: ho lasciato $k$ per non aggiungere altri numeri, ma la condizione è quella della stabilità trovata prima
1) la risposta dovuta al riferimento vale:
$ Y_R(s)=R(s)(k/(s+1)1/(s+1)^2)/(1+k/(s+1)1/(s+1)^(2)400)=R(s)(k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)=(4/s+1/(s^2+1))((k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)) $
semplificandola un pò viene:
$ Y_R(s)=(4/s+1/(s^2+1))((k)/((s+1)^3+(400k))) $
2) la risposta dovuta al disturbo vale:
$ Y_D(s)=D(s)1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3)=0.2/s1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3) $
Se ti trovi ( ammesso che io non abbia commesso errori ), sommale e fanne il limite
PS: ho lasciato $k$ per non aggiungere altri numeri, ma la condizione è quella della stabilità trovata prima
Si è lo stesso risultato. Successivamente si sommano e si moltiplicano per $s$ facendone il limite, giusto?
$lim_(s->0)(Y_D(s)+Y_R(s))*s$
Il fattore $s$ a denominatore si cancella e il risultato finale diventa finito
$lim_(s->0)(Y_D(s)+Y_R(s))*s$
Il fattore $s$ a denominatore si cancella e il risultato finale diventa finito
Si devi sommarle, moltiplicare per $s$ e farne il limite che ovviamente sarà funzione di $k$. Non l'ho fatto il limite, fallo tu e fammi sapere
Ecco quello che mi viene:
$ lim_(s->0) s*((4*s^2+s+4)/(s*(s^2+1))*k/((s+1)^3+400*k)+0.2/s*1/((s+1)*(s+2))*(s+1)^3/((s+1)^3+400*k))= $
$=(4*k)/(1+400*k)+0.2/2*1/(1+400*k)$
Sostituendo $k=2 $ l'errore a regime diventa $=8/801+0.1/801=0.01$
$ lim_(s->0) s*((4*s^2+s+4)/(s*(s^2+1))*k/((s+1)^3+400*k)+0.2/s*1/((s+1)*(s+2))*(s+1)^3/((s+1)^3+400*k))= $
$=(4*k)/(1+400*k)+0.2/2*1/(1+400*k)$
Sostituendo $k=2 $ l'errore a regime diventa $=8/801+0.1/801=0.01$
Viene pure a me la stessa cosa...
Ho provato a simularlo anche con Simulink per avere una conferma.
Per $K>1/50$ l'uscita diverge come avevamo visto. Strano che dai calcoli non si riesce a ottenere lo stesso risultato, c'è qualcosa che non va nel procedimento
Per $K>1/50$ l'uscita diverge come avevamo visto. Strano che dai calcoli non si riesce a ottenere lo stesso risultato, c'è qualcosa che non va nel procedimento
Infatti anche a me con simulink diverge, sto ricontrollando i calcoli e l'unico dubbio che mi è appena venuto è questo: il disturbo dove interviene proprio dove l'hai disegnato tu?
Si il disturbo interviene dopo il processo come nello schema
L'errore sta proprio sul quel nodo sommatore che agisce anche sulla retroazione, va modificato lo schema a blocchi.
Si scusami, la retroazione preleva l'uscita ma non parte dal nodo sommatore. Ho sbagliato a tracciare la linea, ma non cambia nulla rispetto a quanto fatto fino adesso. Il disturbo è sempre dopo il processo. Ecco lo schema corretto
Mi stavi facendo impazzire per colpa di quel nodo sommatore che non sapevo da dove usciva.
Dammi un pò di tempo e lo rifaccio con tutti i passaggi.
Nel frattempo rifallo anche tu
PS: sicuro che non ti sia dimenticato di qualche altro dato?
Dammi un pò di tempo e lo rifaccio con tutti i passaggi.
Nel frattempo rifallo anche tu
PS: sicuro che non ti sia dimenticato di qualche altro dato?
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