[Controlli Automatici] Risposta a regime

Andy8585
Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $


Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $


Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.

Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie :)

Risposte
D4lF4zZI0
Si è corretto ( non ho controllato le fdt ), ma sembra corretto.
La risposta del sistema è la somma della risposta dovuta al riferimento e della risposta dovuta al disturbo. Fatta questa somma ne fai il limite per il regime. ;)

Andy8585
Il mio dubbio nasce perché l'esercizio originario prevedeva sul ramo diretto, invece di $ 2/(s+1) $, un $ k/(s+1) $ e lo studio della stabilità al variare di k.
Il sistema diventava instabile per $ k>1/50 $.
Con questi calcoli l'errore a regime mi viene piccolissimo, ma $k=2$ non dovrebbe rendermi il sistema instabile?

D4lF4zZI0
Se hai fatto bene i calcoli, si dovrebbe essere instabile.
Fai una cosa, posta l'esercizio originario e vediamo un pò

Andy8585
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$y''(t)+2⋅y'+y(t)=u(t)$

1) studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso al variare di K;
2) Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali $r(t)=(4+sin(t))⋅δ_(−1)(t)$ e $d(t)=0.2⋅δ_(−1)(t)$
3) Per la fdt P(s) individuare i modi di evoluzione e tracciarne l'andamento qualitativo

D4lF4zZI0
1) Il sistema risulta stabile per $ 0 2) Come stavi facendo andava bene ( ovviamente con il valore di $k$ idoneo ) ; quindi continua e calcolati l'errore a regime

Andy8585
Al punto 2 mi sono dimenticato di scrivere che il calcolo della risposta a regime va fatta per $K=2$.
Quindi lo richiede la traccia, stranamente.. Probabilmente dovrei rispondere che l'errore diverge senza fare calcoli.

Ma le fdt dei segnali di ingresso che ho determinato vanno bene?
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$

Vorrei sapere se la trasformazione che ho fatto va bene

D4lF4zZI0
Cosa curiosa...ho calcolato la risposta del sistema portandomi dietro $k$ e stranamente se metto $k=2$ la risposta non diverge. Hmm devo ricontrollare meglio la cosa.
Cmq si le trasformazioni sono corrette ed anche $P(s)$ lo è

D4lF4zZI0
ok si trova, avevo sbagliato un passaggio finale. Con $k=2$ l'uscita diverge

Andy8585
Io mi ritrovo a risolvere questi limiti (per $K=2$)

$ lim_(s->0) s*(4/s+1/(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801)=lim_(s->0) s*(4*s^2+s+4)/(s*(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ lim_(s->0) s*0.2/s*(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $

ottengo però valori piccoli, non diverge l'uscita

D4lF4zZI0
Strani questi limiti che ti trovi. Rifacciamoli assieme; la risposta del sistema è la somma delle due risposte. Quindi:
1) la risposta dovuta al riferimento vale:
$ Y_R(s)=R(s)(k/(s+1)1/(s+1)^2)/(1+k/(s+1)1/(s+1)^(2)400)=R(s)(k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)=(4/s+1/(s^2+1))((k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)) $
semplificandola un pò viene:
$ Y_R(s)=(4/s+1/(s^2+1))((k)/((s+1)^3+(400k))) $
2) la risposta dovuta al disturbo vale:
$ Y_D(s)=D(s)1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3)=0.2/s1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3) $
Se ti trovi ( ammesso che io non abbia commesso errori ), sommale e fanne il limite
PS: ho lasciato $k$ per non aggiungere altri numeri, ma la condizione è quella della stabilità trovata prima

Andy8585
Si è lo stesso risultato. Successivamente si sommano e si moltiplicano per $s$ facendone il limite, giusto?

$lim_(s->0)(Y_D(s)+Y_R(s))*s$

Il fattore $s$ a denominatore si cancella e il risultato finale diventa finito

D4lF4zZI0
Si devi sommarle, moltiplicare per $s$ e farne il limite che ovviamente sarà funzione di $k$. Non l'ho fatto il limite, fallo tu e fammi sapere :)

Andy8585
Ecco quello che mi viene:
$ lim_(s->0) s*((4*s^2+s+4)/(s*(s^2+1))*k/((s+1)^3+400*k)+0.2/s*1/((s+1)*(s+2))*(s+1)^3/((s+1)^3+400*k))= $
$=(4*k)/(1+400*k)+0.2/2*1/(1+400*k)$
Sostituendo $k=2 $ l'errore a regime diventa $=8/801+0.1/801=0.01$

D4lF4zZI0
Viene pure a me la stessa cosa...

Andy8585
Ho provato a simularlo anche con Simulink per avere una conferma.
Per $K>1/50$ l'uscita diverge come avevamo visto. Strano che dai calcoli non si riesce a ottenere lo stesso risultato, c'è qualcosa che non va nel procedimento

D4lF4zZI0
Infatti anche a me con simulink diverge, sto ricontrollando i calcoli e l'unico dubbio che mi è appena venuto è questo: il disturbo dove interviene proprio dove l'hai disegnato tu?

Andy8585
Si il disturbo interviene dopo il processo come nello schema

D4lF4zZI0
L'errore sta proprio sul quel nodo sommatore che agisce anche sulla retroazione, va modificato lo schema a blocchi.

Andy8585
Si scusami, la retroazione preleva l'uscita ma non parte dal nodo sommatore. Ho sbagliato a tracciare la linea, ma non cambia nulla rispetto a quanto fatto fino adesso. Il disturbo è sempre dopo il processo. Ecco lo schema corretto

D4lF4zZI0
Mi stavi facendo impazzire per colpa di quel nodo sommatore che non sapevo da dove usciva.
Dammi un pò di tempo e lo rifaccio con tutti i passaggi.
Nel frattempo rifallo anche tu
PS: sicuro che non ti sia dimenticato di qualche altro dato?

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