[Controlli Automatici] Risposta a regime
Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $
Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $
Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.
Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $
Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $
Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.
Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie
Risposte
Non volevo farti impazzire! 
I dati sono quelli, non ho dimenticato nient'altro
I dati sono quelli, non ho dimenticato nient'altro
Ho trovato l'errore che ho commesso anche io. Ora me lo finisco tutto l'esercizio e poi lo posto con calma. A più tardi e tu nel frattempo rifallo e cerca di capire l'errore ( sta quando abbiamo calcolato la stabilità del sistema )
Non riesco a trovarlo l'errore.. il ragionamento fatto sulla stabilità mi sembra giusto 
Eccomi ( scusa ma ero impegnato ), l'errore che abbiamo commesso è quello di aver applicato il criterio di Routh ai fini di determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso.
Purtroppo, però, poichè la fdt relativa al disturbo è diversa da quella relativa all'ingresso, tale criterio perde di significato.
La strada da seguire ( che tra l'altro è quasi suggerita dalla traccia ) è la seguente:
1) determiniamo la risposta $Y(s)$ del sistema:
$ Y(s)=D(s)1/((s+1)(s+2))W_D(s)+R(s)W_R(s)=0.2/s1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3)+ $
$ +(4/s+1/(s^2+1))(k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)= $
$ =0.2/s(s+1)^2/((s+2)[(s+1)^3+400k])+(4/s+1/(s^2+1))k/((s+1)^3+400k) $
2) calcoliamo la risposta a regime:
$ y_oo=lim_(s -> 0)sY(s)=lim_(s -> 0){(0.2(s+1)^2)/((s+2)[(s+1)^3+400k])+(4k)/((s+1)^3+400k)+ $
$ +(sk)/((s^2+1)[(s+1)^3+400k])}=0.2/(2(1+400k))+(4k)/(1+400k)= $
$ =(0.2+8k)/(2(1+400k))=y_oo(k) $
3) studiamo la funzione appena trovata:
$ y_oo(k)=(0.2+8k)/(2(1+400k)) $
A questo punto si tratta di fare lo studio della funzione ( ci vogliono pochi passaggi ) ed alla fine concludi che tale funzione presenta le seguenti caratteristiche:
a) il suo dominio è $ D=AA kin R-{-1/400} $
b) passa per i seguenti due punti $ A-= (0;0.1) $ e $ B-= (-0.1/4;0) $
c) è positiva quando $ k<-0.1/4 uu k> -1/400 $
d) presenta un asintoto verticale di equazione $ k=-1/400 $
e) presenta un asintoto orizzontale di equazione $y=1/100$ per $ krarr +-oo $
f) la sua derivata prima è sempre decrescente, quindi non presenta dei minimi e dei massimi relativi.
A questo punto sai tutto del sistema; infatti:
1) sai quando la risposta diverge e, cioè, quando $k=-1/400$;
2) puoi calcolarti la risposta a regime quando $k=2$;
3) antitrasformando $Y(s,k)$ ottieni la $y(t,k)$ e al variare di $k$ puoi valutarne i modi di evoluzione ( ovviamente solo per $k>=0$ )
Purtroppo, però, poichè la fdt relativa al disturbo è diversa da quella relativa all'ingresso, tale criterio perde di significato.
La strada da seguire ( che tra l'altro è quasi suggerita dalla traccia ) è la seguente:
1) determiniamo la risposta $Y(s)$ del sistema:
$ Y(s)=D(s)1/((s+1)(s+2))W_D(s)+R(s)W_R(s)=0.2/s1/((s+1)(s+2))1/(1+(400k)/(s+1)^3)+ $
$ +(4/s+1/(s^2+1))(k/(s+1)^3)/(1+(400k)/(s+1)^3)= $
$ =0.2/s(s+1)^2/((s+2)[(s+1)^3+400k])+(4/s+1/(s^2+1))k/((s+1)^3+400k) $
2) calcoliamo la risposta a regime:
$ y_oo=lim_(s -> 0)sY(s)=lim_(s -> 0){(0.2(s+1)^2)/((s+2)[(s+1)^3+400k])+(4k)/((s+1)^3+400k)+ $
$ +(sk)/((s^2+1)[(s+1)^3+400k])}=0.2/(2(1+400k))+(4k)/(1+400k)= $
$ =(0.2+8k)/(2(1+400k))=y_oo(k) $
3) studiamo la funzione appena trovata:
$ y_oo(k)=(0.2+8k)/(2(1+400k)) $
A questo punto si tratta di fare lo studio della funzione ( ci vogliono pochi passaggi ) ed alla fine concludi che tale funzione presenta le seguenti caratteristiche:
a) il suo dominio è $ D=AA kin R-{-1/400} $
b) passa per i seguenti due punti $ A-= (0;0.1) $ e $ B-= (-0.1/4;0) $
c) è positiva quando $ k<-0.1/4 uu k> -1/400 $
d) presenta un asintoto verticale di equazione $ k=-1/400 $
e) presenta un asintoto orizzontale di equazione $y=1/100$ per $ krarr +-oo $
f) la sua derivata prima è sempre decrescente, quindi non presenta dei minimi e dei massimi relativi.
A questo punto sai tutto del sistema; infatti:
1) sai quando la risposta diverge e, cioè, quando $k=-1/400$;
2) puoi calcolarti la risposta a regime quando $k=2$;
3) antitrasformando $Y(s,k)$ ottieni la $y(t,k)$ e al variare di $k$ puoi valutarne i modi di evoluzione ( ovviamente solo per $k>=0$ )
Non ho capito alcune cose..
Innanzitutto, perché il criterio di Routh non posso usarlo? Noi lo abbiamo applicato al sistema, considerando nullo il disturbo. Tra l'altro con la simulazione in Simulink (sistema + il disturbo + gli ingressi dati dalla traccia) abbiamo verificato che il valore critico di $k$ era effettivamente quello trovato con Routh. Cioè, con $k>1/50$ l'uscita diverge (e non $-1/400$).
Poi, il valore $y_(oo)(k)$ è lo stesso che avevamo calcolato in precedenza. Facendo lo studio della funzione, non facciamo altro che studiare in maniera più approfondita l'andamento, ma giungiamo ai risultati trovati prima. Sostituendo $k=2$, infatti, otteniamo un'uscita a regime finita e non divergente
Innanzitutto, perché il criterio di Routh non posso usarlo? Noi lo abbiamo applicato al sistema, considerando nullo il disturbo. Tra l'altro con la simulazione in Simulink (sistema + il disturbo + gli ingressi dati dalla traccia) abbiamo verificato che il valore critico di $k$ era effettivamente quello trovato con Routh. Cioè, con $k>1/50$ l'uscita diverge (e non $-1/400$).
Poi, il valore $y_(oo)(k)$ è lo stesso che avevamo calcolato in precedenza. Facendo lo studio della funzione, non facciamo altro che studiare in maniera più approfondita l'andamento, ma giungiamo ai risultati trovati prima. Sostituendo $k=2$, infatti, otteniamo un'uscita a regime finita e non divergente
Il punto è proprio questo che non mi torna.
Il sistema è caratterizzato dal seguente polinomio caratteristico $ p(s)=(s+2)[(s+1)^3+400k] $ ( ho preso quello relativo al disturbo, ma tanto non cambia nulla ); effettivamente risulta che per essere asintoticamente stabile, deve accadere che $ 0
Il sistema è caratterizzato dal seguente polinomio caratteristico $ p(s)=(s+2)[(s+1)^3+400k] $ ( ho preso quello relativo al disturbo, ma tanto non cambia nulla ); effettivamente risulta che per essere asintoticamente stabile, deve accadere che $ 0
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