[Controlli Automatici] Regime permanente
Ciao a tutti, sto studiando su una dispensa lo sliding mode control relativo ad un Power Boost Converter e c'è un passaggio che non riesco a capire, avendo ormai smarrito le tecniche di controlli automatici. Ad un certo punto ho:
\(\displaystyle \dot{\eta (t)}=\frac{-2\eta(t)}{C(\widehat{R}+\Delta R)}+\frac{K^2 L}{C E^2 (\widehat{R}+\Delta R)}+K \)
E dice che questo corrisponde ad un sistema lineare, stazionario, asintoticamente stabile con ingresso costante pari a:
\(\displaystyle \frac{K^2 L}{C E^2 (\widehat{R}+\Delta R)}+K \)
E che quindi a regime permanente la variabile \(\displaystyle \eta (t) \) tende al valore:
\(\displaystyle \tilde{\eta (t)} = \frac{K C(\widehat{R}+\Delta R)}{2} + \frac{K^2 L}{2E^2}\)
Magari sarà una sciocchezza, ma non capisco come ricavare il valore \(\displaystyle \tilde{\eta (t)} \) , ho provato a integrare entrambi i membri della prima espressione e fare il limite con \(\displaystyle t \rightarrow \infty \) ma non mi viene...
Qualche suggerimento?
Grazie
\(\displaystyle \dot{\eta (t)}=\frac{-2\eta(t)}{C(\widehat{R}+\Delta R)}+\frac{K^2 L}{C E^2 (\widehat{R}+\Delta R)}+K \)
E dice che questo corrisponde ad un sistema lineare, stazionario, asintoticamente stabile con ingresso costante pari a:
\(\displaystyle \frac{K^2 L}{C E^2 (\widehat{R}+\Delta R)}+K \)
E che quindi a regime permanente la variabile \(\displaystyle \eta (t) \) tende al valore:
\(\displaystyle \tilde{\eta (t)} = \frac{K C(\widehat{R}+\Delta R)}{2} + \frac{K^2 L}{2E^2}\)
Magari sarà una sciocchezza, ma non capisco come ricavare il valore \(\displaystyle \tilde{\eta (t)} \) , ho provato a integrare entrambi i membri della prima espressione e fare il limite con \(\displaystyle t \rightarrow \infty \) ma non mi viene...
Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
Mi rispondo da solo... come pensavo va risolta l'equazione differenziale e poi fatto il limite per \(\displaystyle t \rightarrow \infty \) solo che l'equazione non direttamente a variabili separabili, per quello non riuscivo a risolvere!
Si opera in questo modo, tramite un cambio di variabile:
\(\displaystyle x(t)=\frac{-2\eta(t)}{A}+B \)
con \(\displaystyle A=C(\widehat{R}+\Delta R)\) e B uguale all'ingresso, per non riscrivere ogni volta tutto..
Da cui ottengo:
\(\displaystyle \dot{x}(t)=\frac{-2\dot{\eta}(t)}{A} \)
E quindi:
\(\displaystyle \dot{\eta}(t)=\frac{-A\dot{x}(t)}{2} \)
A questo punto la nuova equazione sarà a variabili separabili:
\(\displaystyle \frac{-A\dot{x}(t)}{2}=x(t) \)
\(\displaystyle \frac{-A\dot{x}(t)}{2x(t)}=1 \)
\(\displaystyle \frac{-A}{2}\frac{\partial{x(t)}}{x}=1\partial{t} \)
Integrando entrambi i membri si ottiene:
\(\displaystyle x(t)=e^{-\frac{2t}{A}} \)
A questo punto basta eseguire la sostituzione inversa e calcolare il limite per \(\displaystyle t \rightarrow \infty \) e viene il risultato voluto.
Si opera in questo modo, tramite un cambio di variabile:
\(\displaystyle x(t)=\frac{-2\eta(t)}{A}+B \)
con \(\displaystyle A=C(\widehat{R}+\Delta R)\) e B uguale all'ingresso, per non riscrivere ogni volta tutto..
Da cui ottengo:
\(\displaystyle \dot{x}(t)=\frac{-2\dot{\eta}(t)}{A} \)
E quindi:
\(\displaystyle \dot{\eta}(t)=\frac{-A\dot{x}(t)}{2} \)
A questo punto la nuova equazione sarà a variabili separabili:
\(\displaystyle \frac{-A\dot{x}(t)}{2}=x(t) \)
\(\displaystyle \frac{-A\dot{x}(t)}{2x(t)}=1 \)
\(\displaystyle \frac{-A}{2}\frac{\partial{x(t)}}{x}=1\partial{t} \)
Integrando entrambi i membri si ottiene:
\(\displaystyle x(t)=e^{-\frac{2t}{A}} \)
A questo punto basta eseguire la sostituzione inversa e calcolare il limite per \(\displaystyle t \rightarrow \infty \) e viene il risultato voluto.
A questo punto mi chiedo.. era davvero necessario risolvere l'equazione differenziale? Oppure c'è una qualche regola o proprietà che non ricordo (legata ai sistemi stazionari, lineari e asintoticamente stabili),che mi consente di trovare subito l'espressione a regime? Perchè se si guarda bene questa corrisponde esattamente al rapporto tra l'ingresso e il coefficente della variabile \(\displaystyle \eta(t) \) ... 
Grazie
Grazie
Nuovamente mi rispondo da solo...
Quando viene raggiunto il regime permanente significa esattamente che \(\displaystyle \dot{\eta(t)}=0 \) per cui basta imporre questa condizione nell'equazione differenziale e risolverla per \(\displaystyle \eta(t) \) .. un sacco di fatica risparmiata..
Quando viene raggiunto il regime permanente significa esattamente che \(\displaystyle \dot{\eta(t)}=0 \) per cui basta imporre questa condizione nell'equazione differenziale e risolverla per \(\displaystyle \eta(t) \) .. un sacco di fatica risparmiata..
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