[Controlli Automatici] Es. legge controllo con reazione dallo stato

[mtx4]

Ciao
pongo qua un esercizio (in allegato) di cui sinceramente capisco poco o nulla, a partire dalla richiesta stessa
Io so che gli autovalori della matrice dinamica $A_c$ coincidono con gli zeri della funzione differenza così definita:
$D(s)=1+G(s)*H(s)$, non capisco tuttavia cosa poter ricavare da questa condizione, e soprattutto non mi è chiaro cosa vuole il testo. Vuole la funzione di trasferimento a catena chiusa? Vuole un sistema di equazioni nella forma indicata ?
Insomma, vorrei capire secondo voi cosa prevede questo tipo di esercizio e come impostare la risoluzione.
Magari basta un input, davvero non capisco cosa trovare dai dati forniti ...

[Nietzsche610]

Ciao!Penso che il testo ti chieda se sia possibile determinare un'azione sullo stato tale che il sistema abbia quei poli citati nel pdf.

$\bb(\dotx)=((-1,0,-2), (0,-1,-2), (1,0,0))\bbx+((1),(0),(0))u$.

Innanzitutto accerti il fatto che tali poli non siano già tutti e soli i poli del sistema, altrimenti non dovresti fare proprio niente.
La verifica la puoi fare calcolando il polinomio caratteristico del sistema $\phi(s)=det[(sI-A)]$.
Banalmente:

$(sI-A)=((s+1,0,2),(0,s+1,2),(-1,0,s))->\phi(s)=s(s+1)^2+2(s+1)=(s+1)(s^2+s+2)$

Per il criterio di Routh-Hurwitz, puoi già vedere che le radici del polinomio caratteristico non corrispondono agli autovalori assegnati, quindi l'unico sistema che hai per modificarli è quello della retroazione algebrica sullo stato. Poniamo:

$u=\bbk\bbx+\hat(u).$

Il nuovo sistema che ottieni retroazionato sarà:

$\bb(\dotx)=((-1+k_1,k_2,-2+k_3), (0,-1,-2), (1,0,0))\bbx+((1),(0),(0))\hatu$.

Quindi:

$(sI-\tildeA)=((s+1-k_1,-k_2,2-k_3),(0,s+1,2),(-1,0,s))$

$->\tilde(\phi)(s)=s^3+(2+k_1)s^2+(3-k_1-k_3)s+(2k_2-k_3+2)$

Ora calcoli gli zeri del polinomio $\tilde(\phi)(s)$ imponendo che siano uguali agli autovalori assegnati.
Spero di aver capito il testo e di esserti stato d'aiuto!

[mtx4]

Sei stato molto utile. Grazie tante davvero.
Credo proprio che il testo volesse questo, ci sono arrivato solo a posteriori grazie al tuo aiuto.
Sto provando a risolverlo in questo momento.
Grazie di nuovo. Ciao.