[Controlli Automatici] BIBO stabilità in retroazione unitaria
Ciao a tutti! Vi chiedo aiuto nella risoluzione di questo esercizio:
Sia $G(s)$ funzione di trasferimento di un processo a tempo continuo lineare, tempo-invariante e SISO:
$G(s)=\frac{10s+2}{s^3+s^2+2s-1}$
si determini per quali valori del parametro $K$ il sistema con retroazione unitaria negativa e K variabile risulta BIBO stabile:
$W(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)}$
Io ho pensato di usare il criterio di Routh con K variabile per il denominatore della $W(s)$ che in questo modo diventa:
$W(s)= \frac{kn(s)}{d(s)+kn(s)}$ dove $n(s)=10s+2$ e $d(s)=s^3+s^2+2s-1$ (rispettivamente numeratore e denominatore della G(s)
Allora studiando il polinomio $d(s)+kn(s)$ mi risulta che affinché valga la permanenza del segno $k<-3/8$ e $k > -1/5$ che risulta impossibile.
La seconda strada sarebbe quella di applicare il criterio di Nyquist ma guardando la $G(s)$ il suo denominatore è praticamente inscomponibile cioè mi serve un programma per capire dove stanno i poli che sono:
circa $0.39$ e circa $-0.69+-j\cdot 1.43$ e li ho trovati al computer. La scomposizione in questo caso non saprei farla.
Un'altra strada è forse quella di studiare la pulsazione di $G(s)$ per fase $\pi$ ma dopo si complica tutto con l'arcotangente... Non capisco come si deve fare in questo caso? voi come l'avreste fatto?
Soluzione numerica data:
Sia $G(s)$ funzione di trasferimento di un processo a tempo continuo lineare, tempo-invariante e SISO:
$G(s)=\frac{10s+2}{s^3+s^2+2s-1}$
si determini per quali valori del parametro $K$ il sistema con retroazione unitaria negativa e K variabile risulta BIBO stabile:
$W(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)}$
Io ho pensato di usare il criterio di Routh con K variabile per il denominatore della $W(s)$ che in questo modo diventa:
$W(s)= \frac{kn(s)}{d(s)+kn(s)}$ dove $n(s)=10s+2$ e $d(s)=s^3+s^2+2s-1$ (rispettivamente numeratore e denominatore della G(s)
Allora studiando il polinomio $d(s)+kn(s)$ mi risulta che affinché valga la permanenza del segno $k<-3/8$ e $k > -1/5$ che risulta impossibile.
La seconda strada sarebbe quella di applicare il criterio di Nyquist ma guardando la $G(s)$ il suo denominatore è praticamente inscomponibile cioè mi serve un programma per capire dove stanno i poli che sono:
circa $0.39$ e circa $-0.69+-j\cdot 1.43$ e li ho trovati al computer. La scomposizione in questo caso non saprei farla.
Un'altra strada è forse quella di studiare la pulsazione di $G(s)$ per fase $\pi$ ma dopo si complica tutto con l'arcotangente... Non capisco come si deve fare in questo caso? voi come l'avreste fatto?
Soluzione numerica data:
Risposte
Il denominatore della funzione reazionata dovrebbe essere:
$s^3+s^2+s(2+10k)+(2k-1)$
Quindi si ottiene un polo nell’origine con k=1/2 (che annulla il termine noto).
Per valori minori il polo reale va’ a destra, per valori maggiori a sinistra.
I rimanenti poli complessi coniugati risultano sempre a sinistra.
$s^3+s^2+s(2+10k)+(2k-1)$
Quindi si ottiene un polo nell’origine con k=1/2 (che annulla il termine noto).
Per valori minori il polo reale va’ a destra, per valori maggiori a sinistra.
I rimanenti poli complessi coniugati risultano sempre a sinistra.
Grazie mille! Comunque mi sono accorto dove ho sbagliato nel criterio di Routh infatti il denominatore di $W(s)$ ha soluzioni positive per $k> -8/3$ e $k>1/2$ che a sistema dà $k>1/2$
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