[Controlli Automatici] Analisi stabilità
Ciao a tutti!
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come si svolge questo problema? Non saprei proprio come impostare la risoluzione.. (Anche a causa della presenza della variabile k)
Grazie!
Risposte
Inizia applicando la trasformata di Laplace
"Nietzsche610":
Inizia applicando la trasformata di Laplace
Come? Intendi ricavare W(s) per poi antitrasformarla e ottenere w(t)? In tal caso come diventa la parte a dx dell'uguale? Nelle altre tipologie di esercizi ho avuto sempre trovato solamente u(t)...
Grazie mille per la tua risposta
Applica la trasformata di Laplace ad ambo i membri dell'uguaglianza e ricava la f.ne di trasferimento.
A questo punto, deduci i poli e ne ricavi la stabilità.
A questo punto, deduci i poli e ne ricavi la stabilità.
"Nietzsche610":
Applica la trasformata di Laplace ad ambo i membri dell'uguaglianza e ricava la f.ne di trasferimento.
A questo punto, deduci i poli e ne ricavi la stabilità.
Mmm come faccio a trasformare i due membri?
Per esempio, io so che se non avessi il membro di dx avrei che la FdT vale $ W(s)=1/(s^2+ks+1) $ giusto?
up
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi come mi dovrei muovere? Grazie
Se compare la derivata di una variabile, ad es. $(du)/(dt)$, nel dominio di Laplace diventa $sU(s)$. Quindi la tua funzione è $W(s)= (s+1)/(s^2+ks+1)$.
Come ti ha gia' risposto "Nietzsche", devi trovare quando i poli hanno parte reale positiva o negativa.
I poli sono:
$(-k \pm \sqrt(k^2-4))/(2)$
Devi analizzare questa espressione e vedere appunto per quali $k$, la parte reale è negativa/positiva.
Come ti ha gia' risposto "Nietzsche", devi trovare quando i poli hanno parte reale positiva o negativa.
I poli sono:
$(-k \pm \sqrt(k^2-4))/(2)$
Devi analizzare questa espressione e vedere appunto per quali $k$, la parte reale è negativa/positiva.
Grazie!
Svolgo e ti faccio sapere
Svolgo e ti faccio sapere
"Quinzio":
Se compare la derivata di una variabile, ad es. $(du)/(dt)$, nel dominio di Laplace diventa $sU(s)$. Quindi la tua funzione è $W(s)= (s+1)/(s^2+ks+1)$.
Come ti ha gia' risposto "Nietzsche", devi trovare quando i poli hanno parte reale positiva o negativa.
I poli sono:
$(-k \pm \sqrt(k^2-4))/(2)$
Devi analizzare questa espressione e vedere appunto per quali $k$, la parte reale è negativa/positiva.
Mmmh allora provo a dare la mia soluzione:
- $ k>0 $ , poli con parte reale negativa;
- $ k<0 $ , poli con parte reale positiva;
Quindi, nel primo caso, il sistema sarà instabile. Mentre nel secondo caso il sistema sarà stabile e nello specifico asintoticamente stabile.
E' corretto?
Per determinare il segno della parte reale ho svolto in modo "analitico" lo svolgimento dei casi limite (k=0, k=4, ecc.). Probabilmente non è la più corretta, però non saprei come fare diversamente..
E quindi la risposta finale qual è ?
"Quinzio":
E quindi la risposta finale qual è ?
Quella indicata nel messaggio precedente (l'ultimo post della prima pagina)
Leggendo meglio tra i miei appunti ho trovato che un sistema può avere altre due stabilità:
- Alla Lyapunov, nel caso la parte reale dei poli sia minore o uguale a 0 ( $ Re{p{::}_(i)}<= 0 $ );
- Alla BIBO, nel caso la parte reale dei poli sia minore di 0 ( $ Re{p{::}_(i)}< 0 $ );
Inoltre i poli devono essere semplici e non doppi.
E' corretto?
Se così fosse, potrei dire che il sistema dell'esercizio analizzato è stabile alla Lyapunov nel caso di $ k>0 $ ?
Sempre ammesso che l'analisi che ho fatto precedentemente a proposito del paramentro $ k $ sia corretta...
- Alla Lyapunov, nel caso la parte reale dei poli sia minore o uguale a 0 ( $ Re{p{::}_(i)}<= 0 $ );
- Alla BIBO, nel caso la parte reale dei poli sia minore di 0 ( $ Re{p{::}_(i)}< 0 $ );
Inoltre i poli devono essere semplici e non doppi.
E' corretto?
Se così fosse, potrei dire che il sistema dell'esercizio analizzato è stabile alla Lyapunov nel caso di $ k>0 $ ?
Sempre ammesso che l'analisi che ho fatto precedentemente a proposito del paramentro $ k $ sia corretta...
"Quinzio":
E quindi la risposta finale qual è ?
up
"aknoh":
[quote="Quinzio"]Se compare la derivata di una variabile, ad es. $(du)/(dt)$, nel dominio di Laplace diventa $sU(s)$. Quindi la tua funzione è $W(s)= (s+1)/(s^2+ks+1)$.
Come ti ha gia' risposto "Nietzsche", devi trovare quando i poli hanno parte reale positiva o negativa.
I poli sono:
$(-k \pm \sqrt(k^2-4))/(2)$
Devi analizzare questa espressione e vedere appunto per quali $k$, la parte reale è negativa/positiva.
Mmmh allora provo a dare la mia soluzione:
- $ k>0 $ , poli con parte reale negativa;
- $ k<0 $ , poli con parte reale positiva;
Quindi, nel primo caso, il sistema sarà instabile. Mentre nel secondo caso il sistema sarà stabile e nello specifico asintoticamente stabile.
E' corretto?[/quote]
Ok corretto. La stabilità alla Lyapunov non la conosco bene.
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