Calcolo Trasformata discreta di una sequenza

[ingtlc]

Vi prego ragazzi HELP .

Sul mio libro c'è questo esercizio.....ma non ci ho capito nulla !!!

Calcolare la trasformata discreta della sequenza : $ x[n] = cos ((npi)/4) $

Ho ragionato in questo modo ...

dalla formula di eulero $ cos ((npi)/4) = (e^{(j(npi)/4)} + e^{(-j(npi)/4)})/2 $ per cui posso riscrivere $ x[n] = 1/2 e^{j(pin)/4} + 1/2 e^{-j(pin)/4} $

Ora devo calcolare il periodo della sequenza (che chiamerò No come sul mio testo di riferimento) .

Qui nasce il mio primo dubbio, mi trovo con il risultato....ma non so se il procedimento è questo:
considero $ cos (2pifn) $ di una generica sequenza discreta e confronto con $ cos ((pin)/4) $ della sequenza che sto considerando, ed eguagliando gli argomenti $ (2pifn) = ((pin)/4) $ ottengo $ f = 1/8 $ quindi il periodo della mia sequenza è $ No = 8 $ .

Ora riscrivo la mia $ x[n] $ nel seguente modo $ x[n] = 1/2 e^{j(2pin)/8} + 1/2 e^{-j(2pin)/8} $ . La trasformata di una sequenza discreta è $ Xk = 1/(No) sum_(n = 0)^(No-1) x[n] e^{-j(2pikn)/(No)} $ quindi vado a mettere il valore della mia $ x[n] $ nella sommatoria ottenendo: $ Xk = 1/(8) sum_(n = 0)^(7) ( 1/2 e^{j(2pin)/8} + 1/2 e^{-j(2pin)/8}) ( e^{-j(2pikn)/(8)} ) $



Bene... io mi sono fermato qui...


Ora invece vi trascrivo fedelmente lo svolgimento sul mio libro:

$ x[n] = cos ((npi)/4) $

E' periodica di periodo $ No = 8 $ . Dalle formule di Eulero,

$ x[n] = [ e^((jpin)/4) + e^((-jpin)/4) ]= 1/2 e^((j2pin)/8) + 1/2 e^((-j2pin)/8) = 1/2 e^((j2pin)/8) + 1/2 e^(j[2pin - (2pin)/8]) = 1/2 e^((j2pin)/8)+1/2 e^((j7*2pin)/8) $

Senza bisogno di effettuare materialmente la trasformata, si puo concludere direttamente che

$ X1 = 1/2 $ , $ X7 = 1/2 $ e $ Xk = 0$ , $k = 0, 2, 3, 4, 5, 6, $


Vi prego spiegatemi dove ho sbagliato !!!

[_luca.barletta]

Non hai sbagliato... devi solo concludere la tua soluzione in modo appropriato, ad esempio ricordando che
[tex]$\frac{1}{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1} e^{j\frac{2\pi i n}{N_0}}e^{-j\frac{2\pi k n}{N_0}} =1[/tex] solo se [tex]i=k[/tex] e fa [tex]\frac{1}{N_0}\frac{1-e^{j2\pi(i-k)}}{1-e^{j2\pi(i-k)/N_0}}=0[/tex] per [tex]i\ne k[/tex].