Calcolo della fase con poli c.c.
Salve a tutti. Avrei un quesito. Devo calcolare la fase di una fdt. Per quanto riguarda la fase associata a poli e zeri reali la so fare mentre non ho chiaro come deve essere il calcolo se vi sono anche poli c.c. Faccio un esempio:
[tex]G(s) = \frac{100(s+4)}{s(s^2+2s+4)(s+5)}[/tex]
quindi ponendo [tex]s = j\omega[/tex] ottengo
[tex]G(j\omega) = \frac{100(j\omega+4)}{j\omega(-\omega^2+2j\omega+4)(j\omega+5)}[/tex]
A questo punto so che la fase di una fdt la posso calcolare considerando l'arcotangente della parte immaginaria su quella reale dei vari termini, quindi:
Per [tex](j\omega+4)[/tex] ottengo [tex]arctg(\frac{\omega}{4})[/tex]
Per [tex](j\omega)[/tex] ottengo [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]
Per [tex](j\omega+5)[/tex] ottengo [tex]-arctg(\frac{\omega}{5})[/tex]
Sulla base di questo ragionamento, per l'ultimo termine dovrei avere
[tex]arctg(\frac{2\omega}{-\omega^2+4})[/tex]
Il problema è che quando poi per diversi valori di [tex]\omega[/tex] vado a calcolare la fase non mi vengono risultati corretti. C'è un altro modo per calcolare la fase di quella parentesi? Grazie in anticipo.
[tex]G(s) = \frac{100(s+4)}{s(s^2+2s+4)(s+5)}[/tex]
quindi ponendo [tex]s = j\omega[/tex] ottengo
[tex]G(j\omega) = \frac{100(j\omega+4)}{j\omega(-\omega^2+2j\omega+4)(j\omega+5)}[/tex]
A questo punto so che la fase di una fdt la posso calcolare considerando l'arcotangente della parte immaginaria su quella reale dei vari termini, quindi:
Per [tex](j\omega+4)[/tex] ottengo [tex]arctg(\frac{\omega}{4})[/tex]
Per [tex](j\omega)[/tex] ottengo [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]
Per [tex](j\omega+5)[/tex] ottengo [tex]-arctg(\frac{\omega}{5})[/tex]
Sulla base di questo ragionamento, per l'ultimo termine dovrei avere
[tex]arctg(\frac{2\omega}{-\omega^2+4})[/tex]
Il problema è che quando poi per diversi valori di [tex]\omega[/tex] vado a calcolare la fase non mi vengono risultati corretti. C'è un altro modo per calcolare la fase di quella parentesi? Grazie in anticipo.
Risposte
Devi tener conto dei segni del numeratore e del denominatore di quel rapporto per poter discriminare il corretto quadrante, ovvero usare atan2 non la semplice arcotangente, che come ben sai ha codominio limitato all'intervallo \((-\pi/2, \pi/2)\).
Il calcolo devo effettuarlo in questo modo. Se considerassi le radici come [tex](s+1-\sqrt{3}j)(s+1+\sqrt{3}j)[/tex] come sarebbe la forma dell'arcotangente per le due radici?
Parlando di numeratore e denominatore mi riferivo all'argomento dell'arcotangente,
e intendevo sottolineare il fatto che la semplice arcotangente non può fornirti l'esatta fase in quanto non considera il segno dei singoli termini del quoziante ma solo il segno del loro rapporto e di conseguenza porta alla ben nota indeterminazione sulla fase di una grandezza complessa.
Sostanzialmente devi distinguere i due casi corrispondenti ad una parte reale positiva associato al primo e quarto quadrante del piano di Gauss, da quello a parte reale negativa associato al secondo e terzo quadrante.
"sn_992":
... [tex]arctg(\frac{2\omega}{-\omega^2+4})[/tex]
e intendevo sottolineare il fatto che la semplice arcotangente non può fornirti l'esatta fase in quanto non considera il segno dei singoli termini del quoziante ma solo il segno del loro rapporto e di conseguenza porta alla ben nota indeterminazione sulla fase di una grandezza complessa.
Sostanzialmente devi distinguere i due casi corrispondenti ad una parte reale positiva associato al primo e quarto quadrante del piano di Gauss, da quello a parte reale negativa associato al secondo e terzo quadrante.
"sn_992":
Il calcolo devo effettuarlo in questo modo. Se considerassi le radici come [tex](s+1-\sqrt{3}j)(s+1+\sqrt{3}j)[/tex] come sarebbe la forma dell'arcotangente per le due radici?
In questo caso, avendo per entrambi i termini parte reale positiva, potresti usare la normale arcotangente del rapporto fra parte immaginaria e reale.
La parte reale è negativa perchè [tex]s = -1 \pm\sqrt{3}[/tex].
Hai ragione e quindi, essendo nel secondo e terzo quadrante, dovrai sommare ad entrambe le fasi ottenute via arcotangente 180 gradi.
Quindi sostanzialmente il calcolo dell'arcotangente, in questa situazione specifica, diventa cosi ?
[tex]arctg(\frac{2\omega}{-\omega^2+4} + \pi)[/tex]
[tex]arctg(\frac{2\omega}{-\omega^2+4} + \pi)[/tex]
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