Calcolare l'energia(?) di un segnale periodico sfruttando la trasf di Fourier
Salve a tutti, ho preso questo esercizio dal libro, ma mi sa che porta un risultato errato. Mi da il seguente segnale periodico:
e mi dice di applicare la relazione del campionamento in frequenza per calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier.
Sul retro porta il risultato, affermando che l'energia del segnale è 1, ma è un segnale periodico, l'energia non dovrebbe essere infinita? Magari è riferito all'energia del solo generatore?
Ad ogni modo, sono pervenuto al risultato:
\(\displaystyle X_k = \frac{A}{2}sinc(\frac{k}{2})+\frac{A}{4}{sinc}^2(\frac{k}{4})-\frac{A}{4}{sinc}^2(\frac{k}{4})e^{-i \pi k} \)
Il libro porta anche lo sviluppo in serie che sarebbe il seguente:
\(\displaystyle X_k = A{sinc}^2(\frac{k}{2})-\frac{A}{2}{sinc}(\frac{k}{2})(-1)^k \)
E' corretto/equivalente a quello che ho scritto io?
e mi dice di applicare la relazione del campionamento in frequenza per calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier.
Sul retro porta il risultato, affermando che l'energia del segnale è 1, ma è un segnale periodico, l'energia non dovrebbe essere infinita? Magari è riferito all'energia del solo generatore?
Ad ogni modo, sono pervenuto al risultato:
\(\displaystyle X_k = \frac{A}{2}sinc(\frac{k}{2})+\frac{A}{4}{sinc}^2(\frac{k}{4})-\frac{A}{4}{sinc}^2(\frac{k}{4})e^{-i \pi k} \)
Il libro porta anche lo sviluppo in serie che sarebbe il seguente:
\(\displaystyle X_k = A{sinc}^2(\frac{k}{2})-\frac{A}{2}{sinc}(\frac{k}{2})(-1)^k \)
E' corretto/equivalente a quello che ho scritto io?
Risposte
Ciao! Allora, provo.. Questo segnale per come lo hai scritto non mi sembra proprio periodico. E' una sommatoria, ma l'indice varia da -1 ad 1 quindi è nullo dove non definito.
Per l'energia, essendo non periodico, hai che: $E=int_(t_1)^(t_2) |f(t)^2| dt $, dove $f(t)$ è il tuo segnale. L'integrale si estenderebbe da - infinito a + infinito, ma essendo nullo il segnale al di fuori di un intervallo puoi sostituire gli estremi con quei valori.
Per calcolare l'integrale hai sue strade: o risolvi analiticamente gli integrali trovando le equazioni delle funzioni che formano il grafico (saranno delle rette) oppure tramite il calcolo delle aree sottese dalle figure.
Puoi usare questo risultato come esercizio per verificare nel tempo che l'energia sia uguale ad 1 per poi eventualmente chiamare in causa Parseval in frequenza.
Alla luce di questo ti torna il resto?
Se qualcuno ha qualche altra idea scriva pure..
Per l'energia, essendo non periodico, hai che: $E=int_(t_1)^(t_2) |f(t)^2| dt $, dove $f(t)$ è il tuo segnale. L'integrale si estenderebbe da - infinito a + infinito, ma essendo nullo il segnale al di fuori di un intervallo puoi sostituire gli estremi con quei valori.
Per calcolare l'integrale hai sue strade: o risolvi analiticamente gli integrali trovando le equazioni delle funzioni che formano il grafico (saranno delle rette) oppure tramite il calcolo delle aree sottese dalle figure.
Puoi usare questo risultato come esercizio per verificare nel tempo che l'energia sia uguale ad 1 per poi eventualmente chiamare in causa Parseval in frequenza.
Alla luce di questo ti torna il resto?
Se qualcuno ha qualche altra idea scriva pure..
No ho fatto una sommatoria sul wolfram per rappresentarlo, ma gli elementi della sommatoria non sono altro che i generatori. Per quanto riguarda l'energia, il libro ha confuso i risultati di questo esercizio con quelli di un altro, a questo punto mi interesserebbe solo sapere dove ho sbagliato la serie di Fourier
Ma l'hai scritto tu il generatore così?
Cioè il libro ti dà solo l'immagine giusto?
Cioè il libro ti dà solo l'immagine giusto?
Si esatto, avrei dovuto specificarlo. Il disegno sul libro va da -1 a 1
Io mi trovo come te...
$ 1/2 sinc(k/2) + 1/2 sinc^2(k/4) $
per k dispari...
$ 1/2 sinc(k/2) + 1/2 sinc^2(k/4) $
per k dispari...
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