[Automazione, Controlli Automatici] Trasformazione in fratti semplici
Ciao, mentre facevo esercizio oggi mi si è presentato un caso che mi ha fatto sorgere un dubbio:
se devo trasformare in fratti semplice una funzione del tipo $ Y(s)=1/(s^3+7) $ devo mettere 3 fratte del tipo $ A/(s-7^(1/3))+ (B*s)/(s-7^(1/3)) + (C*s^2)/(s-7^(1/3)) $ poichè la molteplicità algebrica della radice è 3, vero?
se devo trasformare in fratti semplice una funzione del tipo $ Y(s)=1/(s^3+7) $ devo mettere 3 fratte del tipo $ A/(s-7^(1/3))+ (B*s)/(s-7^(1/3)) + (C*s^2)/(s-7^(1/3)) $ poichè la molteplicità algebrica della radice è 3, vero?
Risposte
Hai sbagliato il calcolo dei poli; infatti:
$ s^3+7!= (s+root(3)(7) )^3 $
$ s^3+7!= (s+root(3)(7) )^3 $
Quindi ho una sola radice?
Ovvio che no; l'equazione
$ s^3+7=0 $
ammette $3$ soluzioni ( come l'analisi matematica insegna ) di cui una è proprio $ s_1=root(3)(-7) $ mentre le altre due aspetto che sia tu a dirmele
$ s^3+7=0 $
ammette $3$ soluzioni ( come l'analisi matematica insegna ) di cui una è proprio $ s_1=root(3)(-7) $ mentre le altre due aspetto che sia tu a dirmele
Ok le altre due sono le complesse coniugate?
si
Vorrei ricordarti che in campo complesso vale la seguente relazione:
$ root(n)(z)= root(n)(rho_z)[cos((vartheta_z+2kpi)/n)+jsin((vartheta_z+2kpi)/n)] $
con $ k=0,1,2,...,n-1 $
che ti permette di trovare le tre soluzioni del problema $ s^3=-7 $
$ root(n)(z)= root(n)(rho_z)[cos((vartheta_z+2kpi)/n)+jsin((vartheta_z+2kpi)/n)] $
con $ k=0,1,2,...,n-1 $
che ti permette di trovare le tre soluzioni del problema $ s^3=-7 $
Si, hai ragione! Grazie
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