[Automatica] Risposta al gradino sistema massa-molla-smorzatore

[HeroGian]

Salve, volevo chiedere qualche consiglio relativo al seguente esercizio:

Determinare la risposta al gradino di un sistema massa-molla-smorzatore definito dalla seguente equazione differenziale:
$x''(t) + 2x'(t) + 10x(t) = F(t)$

applicando la trasformata di Laplace ed un gradino di ampiezza 10 in input, ottengo:

$G(s)F(s) = \frac{10}{s(s^2 + 2s + 10)}$

risolvendo l'equazione di secondo grado $s^2 + 2s + 10 = 0$ ottengo i due poli complessi coniugati: $-1+3j$ e $-1-3j$
quindi utilizzando la scomposizione in fratti semplici ottengo:

$G(s)F(s) = \frac{K_1}{s} + \frac{K_2}{(1-3j)}+ \frac{K_3}{(1+3j)}$

calcolo di $K_1, K_2, K_3$

$K_1 = \frac{10}{(s+1-3j)(s+1+3j)}|_{s=0} = 1$
$K_2 = \frac{10}{s(s+1+3j)}|_{s=-1+3j} = \frac{1}{9}+\frac{1}{3}j$
$K_3 = \frac{10}{s(s+1-3j)}|_{s=-1-3j} = \frac{1}{9}-\frac{1}{3}j$

modulo e fase dei due complessi coniugati:

$M = 2|K_{12}| = 2\sqrt((\frac{1}{9})^2+(\frac{1}{3})^2) = \frac{2\sqrt(10)}{9}$
$arg(K_{12}) = arctan(3)$

calcolo dell'antitrasformata di laplace:

$y(t) = 1 + \frac{2\sqrt(10)}{9} e^{\frac{1}{9}t}cos(\frac{1}{3}t + \phi), \qquad \phi = arctan(3)$
il risultato degli appunti del prof è molto diverso, ma purtroppo non riporta il procedimento..