Algebra dei blocchi e stabilità in ciclo chiuso

[hee136]

Spero l'immagine sia chiara.
Ho suddiviso il sistema in tre parti.
La prima parte è un solo blocco quindi lo lascio così.
La seconda parte è una retroazione. A me è venuto: $(1/S)/(1-100/S)=(1/S)/((S-100)/S)=1/(S-100)$.
La terza parte è un parallelo. A me è venuto: $10/S-1/(1+S/10)=100/(S*(S+10))$.

Ora espongo il mio dubbio.
Il polo a parte Re>0 che salta fuori nella retroazione è corretto?
Ho ripreso un vecchio compitino di metà anno da cui pensavo di partire applicando gli argomenti visti successivamente, solo che mi ricordavo esistessero dei casi in cui al variare di K l'impianto posto in close-loop fosse stabile. Invece applicando la formula $Z_+ = N_O + P_+$ , quel polo in 100 mi fa avere un $P_+ = 1$ e quindi mi causa sempre instabilità.

[K.Lomax]

La retroazione è positiva, quindi è naturale che esca quel segno negativo.
La valutazione della stabilità di un sistema al variare di un guadagno, se ricordo bene, è possibile farla utilizzando il luogo delle radici. Nel tuo blocco non vedo questo coefficiente K.
Ti ricordo, inoltre, che la presenza di un polo a parte reale positiva non implica necessariamente instabilità. A tal proposito vedi il criterio di Nyquist.

[hee136]

"K.Lomax":La retroazione è positiva, quindi è naturale che esca quel segno negativo.
La valutazione della stabilità di un sistema al variare di un guadagno, se ricordo bene, è possibile farla utilizzando il luogo delle radici. Nel tuo blocco non vedo questo coefficiente K.
Ti ricordo, inoltre, che la presenza di un polo a parte reale positiva non implica necessariamente instabilità. A tal proposito vedi il criterio di Nyquist.

Il blocco che ho riportato è lo schema dell'impianto G. La domanda dell'esercizio richiedeva la valutazione della stabilità mettendo in serie all'impianto G un regoatore R(s) = K al variare di questo guadagno. Al momento sto applicando il criterio di Nyquist applicato su Bode.

Per valutare la stabilità utilizzo la formula $n_o = z_+ - p_+$. Con $n_o$ intendo il numero di rotazioni orare, $z_+$ il numero di zeri a parte Re>0 ed infine con $p_+$ il numero di poli a parte Re>0.
Applicandola alla mia RG diventa: $n_o = p_+CL- p_+OL$. $n_o$ sono le rotazioni che ricaverò dal diagramma di Bode. $p_+OL$ sono i poli a parte Re>0 della RG (open loop). Infine $p_+CL$ sono i poli a parte Re>0 in close loop che sono interessato a calcolare.
Nel mio esempio mi trovo ad avere $n_o=0$ e $p_+OL=1$ e quindi questo polo a parte Re>0 in Open Loop mi causa instabilità.

[hee136]

$RGH_0 (s) = K/ (s*(1+s)*(1+s/10)*(1-s/100))$.

A.nalisi di stabilità al variare di K (guadagno del regolatore):
(Applico il metodo di Nyquist su Bode. Purtroppo non sono riuscito a digitalizzare il grafico.)

$K<0$
$p_+ = 1$ //Numero poli a parte Re>0 in open loop
$n_0 = 1$ //Numero rotazioni ricavate dal diagramma di Bode
Da questo segue: $z_+ = n_0 + p_+ = 2$ (numero poli a parte Re>0 in close loop) e quindi è instabile per ogni k

$K>0$
Il diagramma passa l'asse nel punto di modulo $a$ e quindi distinguo due casi.

$1/|K|>a$
$p_+ = 1$
$n_0 = 0$
Da questo segue $z_+ = 1$ e quindi è instabile.

$1/|K| $p_+ = 1$
$n_0 = 2$
Da questo segue $z_+ = 3$ e quindi è instabile.

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Trovate qualcosa di sbagliato?