Ricorrenza con approssimazioni

[Darèios89]

Se in una ricorrenza avessi questa serie:

[tex]\sum_{i=0}^{n}i2^{i-1}[/tex]

C'è un modo per calcolarla senza ricorrere all' approssimazione con gli integrali?

Io ho pensato a:

[tex]i\frac{2^i}{2}\leq i2^i[/tex]

Non so se può andare e come continuare..

[hamming_burst]

sono un attimo arruginito con le serie di potenze, ma non mi sembra si possa calcolare semplicemente, cioè non si può esporre con una formulazione semplice, perchè ricordo che l'esponente deve essere $< 1$

Comunque ti consiglio di mettere questa domanda nella sezione di Analisi Matematica, se non passa qualcuno a risponderti o che io recuperi le serie...
ricorda che questi argomenti non si trovano solo nelle equazioni di ricorrenza

[gugo82]

Basta usare la serie geometrica, ad esempio.

Abbastanza evidentemente è:

[tex]$\sum_{i=1}^n i\ x^{i-1} = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \sum_{i=0}^n x^i \right]$[/tex];

dallo studio della serie geometrica sai che:

[tex]$\sum_{i=0}^n x^i =\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$[/tex],

ergo:

[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \sum_{i=0}^n x^i \right] = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \right]$[/tex]
[tex]$=\frac{-(n+1) x^n (1-x) +(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}$[/tex]
[tex]$=\frac{nx^{n+1} -(n+1)x^n +1}{(1-x)^2}$[/tex]
[tex]$=\frac{[(x-1)n-1]x^n +1}{(1-x)^2}$[/tex]

quindi:

(*) [tex]$\sum_{i=1}^n i\ x^{i-1} = \frac{[(x-1)n-1]x^n +1}{(1-x)^2}$[/tex].

L'espressione esplicita della tua somma si ottiene dalla (*) facendo [tex]$x=2$[/tex] ed è:

[tex]$\sum_{i=1}^n i\ 2^{i-1} = (n-1)2^n +1$[/tex].

[hamming_burst]

wow...son davvero arruginito allora su tutte le serie...altro che serie di potenze...

[Darèios89]

... ....
Interessante non ci avevo fatto caso, grazie mille gugo.