[Reti Logiche] Semplificare funzione boolena con teoremi
Buongiorno a tutti, ho questa espressione booleana definita come
$ F=WX+bar(Y)Z+Wbar(X)Y+bar(W)XYZ+Wbar(X)bar(Y)bar(Z) $
e mi viene richiesto di semplificarla attraverso i teoremi dell'algebra booleana indicandone quali teoremi/identità utilizzati.
Al di la di qualche manipolazione sterile espandendo/raccogliendo qualche letterale attraverso la proprietà distributiva non riesco ad ottenere una semplificazione importante
grazie dell'aiuto
$ F=WX+bar(Y)Z+Wbar(X)Y+bar(W)XYZ+Wbar(X)bar(Y)bar(Z) $
e mi viene richiesto di semplificarla attraverso i teoremi dell'algebra booleana indicandone quali teoremi/identità utilizzati.
Al di la di qualche manipolazione sterile espandendo/raccogliendo qualche letterale attraverso la proprietà distributiva non riesco ad ottenere una semplificazione importante
grazie dell'aiuto
Risposte
Cosa significa "semplificare"? Qual è la forma "più semplice possibile"? Minima rispetto alla lunghezza? Rispetto al numero di operazioni utilizzate? Rispetto al numero di parentesi?
mi spiace ma il testo recita solamente "semplificare indicando quali teoremi, proprietà e/o identità sono stati utilizzati"
Hai provato a scrivere la tabella della verità della tua espressione? È spesso un ottimo modo per comprendere meglio come si comporta la tua espressione e avere delle idee su quale potrebbe essere il risultato finale. Non è obbligatorio, ma è molto più facile sapere cosa cercare di fare quando si ha qualche idea di come proseguire.
Per esempio potresti osservare che ogni volta che \(W\) è vera, anche \(F\) è vera. Dovrai quindi avere qualcosa nella forma \(F(W, X, Y, Z) = W + G(X, Y, Z).\) Per prima cosa cerchiamo di avere tutti i termini con \(W\) o \(\overline{W}\). Possiamo quindi fare il passaggio \(\overline{Y}\,Z = (W + \overline{W})\,\overline{Y}\,Z\) per la regola del terzo escluso \(x + \overline{x} = 1\). A questo punto possiamo raccogliere tutti i termini usando la regola distributiva
\[ W\,(X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}) + \overline{W}\,(\overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z) \]
Possiamo a questo punto usare la regola \(x + \overline{x}\,y = x + y\) (deriva dalla legge distributiva e dalla regola del terzo escluso in quanto \(x + \overline{x}\,y = (x + \overline{x})\,(x + y) = x + y\)) più volte nell'espressione che abbiamo raccolto per \(W\) ottenendo:
\[ X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z} = X + Y + Z + \overline{Z} = 1 + X + Y = 1. \]
Abbiamo quindi ottenuto (applicando di nuovo la regola precedente per eliminare il termine \(\overline{W}\))
\[ F(W, X, Y, Z) = W + \overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z \]
A questo punto possiamo raccogliere \(Z\) e applicare nuovamente la stessa regola usata già più volte per ottenere
\[ F(W, X, Y, Z) = W + Z\,(\overline{Y} + X\,Y) = W + Z\,(\overline{Y} + X). \]
A questo punto non si può fare alcuna ulteriore semplificazione e siamo quindi arrivati a quello che probabilmente ti chiedeva il tuo esercizio.
Per esempio potresti osservare che ogni volta che \(W\) è vera, anche \(F\) è vera. Dovrai quindi avere qualcosa nella forma \(F(W, X, Y, Z) = W + G(X, Y, Z).\) Per prima cosa cerchiamo di avere tutti i termini con \(W\) o \(\overline{W}\). Possiamo quindi fare il passaggio \(\overline{Y}\,Z = (W + \overline{W})\,\overline{Y}\,Z\) per la regola del terzo escluso \(x + \overline{x} = 1\). A questo punto possiamo raccogliere tutti i termini usando la regola distributiva
\[ W\,(X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}) + \overline{W}\,(\overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z) \]
Possiamo a questo punto usare la regola \(x + \overline{x}\,y = x + y\) (deriva dalla legge distributiva e dalla regola del terzo escluso in quanto \(x + \overline{x}\,y = (x + \overline{x})\,(x + y) = x + y\)) più volte nell'espressione che abbiamo raccolto per \(W\) ottenendo:
\[ X + \overline{Y}\,Z + \overline{X}\,Y + \overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z} = X + Y + Z + \overline{Z} = 1 + X + Y = 1. \]
Abbiamo quindi ottenuto (applicando di nuovo la regola precedente per eliminare il termine \(\overline{W}\))
\[ F(W, X, Y, Z) = W + \overline{Y}\,Z + X\,Y\,Z \]
A questo punto possiamo raccogliere \(Z\) e applicare nuovamente la stessa regola usata già più volte per ottenere
\[ F(W, X, Y, Z) = W + Z\,(\overline{Y} + X\,Y) = W + Z\,(\overline{Y} + X). \]
A questo punto non si può fare alcuna ulteriore semplificazione e siamo quindi arrivati a quello che probabilmente ti chiedeva il tuo esercizio.
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