Insieme ricorsivo e produttivo, dove sbaglio?

[beck_s]

L'esame di Fondamenti dell'informatica si avvicina e i dubbi si moltiplicano, vi espongo il mio dilemma:
Sappiamo che l'insieme dei numeri dispari è ricorsivo, così come quello dei numeri pari, e che uno è il coniugato dell'altro, bene, allora definiamo $P$ l'insieme dei numeri pari $P={n | n in 2N}$ e definiamo la funzione
$f(x) =$ $ { ( 2x, se x in K ),(uarr, al.trimenti ):} $
quindi se $x in K rArr f(x) = 2x rArr f(x) in P$
e se $x !in K rArr f(x) uarr rArr f(x) !in P$
Perciò $K <= P rArr bar(K) <= bar(P)$ (dove $<=$ indica la riduzione funzionale indotta da $f$) questo implica che $bar(P)$ che coincide con l'insieme dei numeri dispari è produttivo e quindi non ricorsivamente enumerabile ma noi sappiamo che questo è ASSURDO infatti per ogni numero possiamo dire se esso appartiene o meno all'insieme dei numeri dispari.

Quindi la domanda è: Dove sbaglio?