X appello algebra, urgente
Qualcuno sa dirmi come risolvere questo problema?
Calcolare per quali valori di k appartenente a $RR$ il seguente sistema ha un'unica soluzione:
` {(x+y=1),(x-y=2),((k/3)x+(k-2)y=1):}
Ringrazio anticipatamente chiunque mi dara' delle indicazioni.
Calcolare per quali valori di k appartenente a $RR$ il seguente sistema ha un'unica soluzione:
` {(x+y=1),(x-y=2),((k/3)x+(k-2)y=1):}
Ringrazio anticipatamente chiunque mi dara' delle indicazioni.
Risposte
Il sistema ha un'unica soluzione
se e solo se la matrice dei coefficienti
è invertibile, ovvero se e solo se ha
determinante diverso da 0. Scrivi
la matrice e imponi questa condizione.
se e solo se la matrice dei coefficienti
è invertibile, ovvero se e solo se ha
determinante diverso da 0. Scrivi
la matrice e imponi questa condizione.
Faccio osservare che il sistema non è quadrato; la matrice dei coefficienti non è quindi quadrata, e non è definito il determinante di una matrice non quadrata.
Hai ragione Luca, non ho neanche letto
il sistema e ho risposto in maniera troppo impulsiva...
il sistema e ho risposto in maniera troppo impulsiva...
Si potrebbe usare il teorema
di Rouche-Capelli e imporre che il rango
della matrice dei coefficienti sia uguale
al rango della matrice completa, in
particolare che questo rango sia massimo.
di Rouche-Capelli e imporre che il rango
della matrice dei coefficienti sia uguale
al rango della matrice completa, in
particolare che questo rango sia massimo.
La matrice dei coefficienti ha rango 2 . Bisogna quindi che il rango della matrice completa sia .....
"fireball":
Hai ragione Luca, non ho neanche letto
il sistema e ho risposto in maniera troppo
impulsiva... Vedendolo così, sembra
che abbia un'unica soluzione per ogni k,
infatti essendo 3 equazioni tutte in 2
incognite, queste sono dipendenti tra loro,
quindi eliminandone una (ad esempio la terza) si ottiene un
sistema quadrato e si può applicare
il fatto che il det dev'essere diverso da 0.
Mhhhhhh.. bisogna che la terza equazione dipenda dalle altre due, altrimenti il sistema è impossibile.
Ho modificato quel post.
Io semplicemente troverei $x=3/2$ e $y=-1/2$ sfruttando le prime due equazioni, sostituendo tali valori nella terza otteniamo...
grazie mille ragazzi! tengo questo post per ogni domanda inerente a questo appello, spero di rompervi il meno possibile 
intanto ne ho un'altra, facile facile. (mi sento ignorante come non mai a porverla!)
se ho questo sistema:
`{(y=-2z+5),(y=2-x):}
come posso scrivere l'equazione in forma generale? (mi risulta dalla forma parametrica di una retta in $RR^3$)
intanto ne ho un'altra, facile facile. (mi sento ignorante come non mai a porverla!)
se ho questo sistema:
`{(y=-2z+5),(y=2-x):}
come posso scrivere l'equazione in forma generale? (mi risulta dalla forma parametrica di una retta in $RR^3$)
Cosa intendi per equazione in forma generale?
Intendi il passaggio da equazioni cartesiane (che
hai già) a equazioni parametriche?
Intendi il passaggio da equazioni cartesiane (che
hai già) a equazioni parametriche?
no, il contrario.
Ti faccio un esempio. Equazioni parametriche di una
retta in $RR^3$ passante per il punto $((1),(0),(0))$
e avente come vettore direzionale il vettore
$vecv=((1),(1),(1))$. Allora le eq. sono:
${(x_1=1+t),(x_2=t),(x_3=t):}
Per ottenere le eq. cartesiane (in questo
caso è davvero banale) ricavi t
da una delle tre equazioni e la sostituisci
nelle altre due. Qui è già ricavato, infatti
$t=x_2$ o anche $t=x_3$, e sostituendo
nella prima si ottengono le eq. cartesiane:
${(x_1=1+x_2),(x_2=x_3):}
retta in $RR^3$ passante per il punto $((1),(0),(0))$
e avente come vettore direzionale il vettore
$vecv=((1),(1),(1))$. Allora le eq. sono:
${(x_1=1+t),(x_2=t),(x_3=t):}
Per ottenere le eq. cartesiane (in questo
caso è davvero banale) ricavi t
da una delle tre equazioni e la sostituisci
nelle altre due. Qui è già ricavato, infatti
$t=x_2$ o anche $t=x_3$, e sostituendo
nella prima si ottengono le eq. cartesiane:
${(x_1=1+x_2),(x_2=x_3):}
dannazione! sono proprio ignorante, non mi ricordavo piu' che nel piano la retta e' definita come intersezione di due piani 
grazie
grazie
"hypnotizer":
dannazione! sono proprio ignorante, non mi ricordavo piu' che nel piano la retta e' definita come intersezione di due piani
Chiaramente intendevi "nello spazio"...
esatto
rieccomi. dunque ho un esercizio sulla diagonalizzabilita':
verificare se la seguente matrice e' diagonalizzabile:
1 -1 2
1 2 1
0 1 -1
il determinante della matrice A - Y*I e' il polinomio:
`-Y^3+2Y^2+Y-2
che scomposto con il metodo di Ruffini diviene:
`(Y-1)(Y+1)(-Y+2)
e quindi i 3 autovalori sono
1
-1
2
ora, essendo i tre autovalori distinti la matrice e' diagonalizzabile. ma se non lo fossero stati? inoltre non mi e' chiaro il metodo per diagonalizzare la matrice. grazie a tutti
verificare se la seguente matrice e' diagonalizzabile:
1 -1 2
1 2 1
0 1 -1
il determinante della matrice A - Y*I e' il polinomio:
`-Y^3+2Y^2+Y-2
che scomposto con il metodo di Ruffini diviene:
`(Y-1)(Y+1)(-Y+2)
e quindi i 3 autovalori sono
1
-1
2
ora, essendo i tre autovalori distinti la matrice e' diagonalizzabile. ma se non lo fossero stati? inoltre non mi e' chiaro il metodo per diagonalizzare la matrice. grazie a tutti
ho posto una domanda troppo elementare? fosse cosi' chiedo venia ;(
Essendo i tre autovalori distinti e reali la matrice è diagonalizzabile.
Se due valori fossero stati complessi, allora la matrice non è diagonalizzabile.
Se un valore, reale ovviamnete, fosse stato doppio, allora va verificato che l'autospazio relativo sia di dimensione 2 , cioè che la molteplicità algebrica sia pari alla molteplicità geometrica : in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Come si diagonalizza una matrice ? La matrice diagonalizzante ha per colonne una base degli autovettori e se A è la matrice diagonale , P la matrice diagonalizzante e D la matrice diagonale simile alla A si ha :
$P^(-1)*A*P = D. $
Se due valori fossero stati complessi, allora la matrice non è diagonalizzabile.
Se un valore, reale ovviamnete, fosse stato doppio, allora va verificato che l'autospazio relativo sia di dimensione 2 , cioè che la molteplicità algebrica sia pari alla molteplicità geometrica : in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Come si diagonalizza una matrice ? La matrice diagonalizzante ha per colonne una base degli autovettori e se A è la matrice diagonale , P la matrice diagonalizzante e D la matrice diagonale simile alla A si ha :
$P^(-1)*A*P = D. $
argh, non ci ho capito un tubo relativamente a come diagonalizzare la matrice cosa intendi per matrice diagonale e diagonalizzante? (il termine diagonale l'hai utilizzato 2 volte). chiedo scusa.
cosa intendi per matrice diagonale e diagonalizzante? (il termine diagonale l'hai utilizzato 2 volte). chiedo scusa.
Una matrice diagonale (D nell'esempio indicato prima) ha tutti gli elementi uguali a 0 tranne gli elementi della diagonale principale che non possono essere tutti nulli.
La matrice diagonalizzante è, (P nell'esempio prima fatto) , tale da trasformare una matrice A ( diagonalizzabile ) in matrice diagonale D.
Come ? devi ricavare la matrice $P^(-1) $ e poi sviluppare questo prodotto matriciale : $ P^(-1)*A*P $ , otterrai la matrice D. che ha appunto tutti zeri , tranne sulla diagonale principale in cui compaiono gli autovalori della matrice A.
Un pò più chiaro ?
Prova a trovare gli autovettori della matrice che hai indicato prima e poi una base degli autospazi relativi .
Per trovare gli autovettori relativi al valore $ lambda_1 = 1 $ devi risolvere il sistema omogeneo :
$ -x_2+2x_3 = 0 $
$x_1+x_2+x_3 = 0 $
$ x_2-2x_3 = 0 $
etc. ok ?
La matrice diagonalizzante è, (P nell'esempio prima fatto) , tale da trasformare una matrice A ( diagonalizzabile ) in matrice diagonale D.
Come ? devi ricavare la matrice $P^(-1) $ e poi sviluppare questo prodotto matriciale : $ P^(-1)*A*P $ , otterrai la matrice D. che ha appunto tutti zeri , tranne sulla diagonale principale in cui compaiono gli autovalori della matrice A.
Un pò più chiaro ?
Prova a trovare gli autovettori della matrice che hai indicato prima e poi una base degli autospazi relativi .
Per trovare gli autovettori relativi al valore $ lambda_1 = 1 $ devi risolvere il sistema omogeneo :
$ -x_2+2x_3 = 0 $
$x_1+x_2+x_3 = 0 $
$ x_2-2x_3 = 0 $
etc. ok ?
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