...vettori linearmente indipendenti...

[Pozzetto1]

Ciao a tutti.

Piccola cosa poco chiara.

Un testo mi dice quanto segue:


Ho la matrice $A=((1,1),(2,0),(1,-1))$ e riducendo a scala ottengo $A=((1,1),(0,-2),(0,0))$ che ha rango 2 e fino a qua ci siamo.

Il testo mi dice che le due colonne sono linearmente indipendenti,e questo senza nessun calcolo.
Come ha fatto a dire ciò?Mi sfugge qualcosa?

Grazie

[Pozzetto1]

Si,quando il loro prodotto per uno scalare risulta il vettore nullo!

[Zilpha]

Se la dici così a un professore, ti boccia! Anche perchè detta così non vuol dire niente.... Mi sa che hai bisogno di rivedere un pò di teoria. Perchè non ripassi un pò di cose e poi ne riparliamo? Non si possono fare gli esercizi quando anche le definizioni di base sono così approssimative...

[Pozzetto1]

Era un modo sbrigativo,ok ma la definizione mi è chiara...

[Zilpha]

Non credo proprio ti sia chiara... Fidati, te lo dico come una sorella. Non esiste un modo sbrigativo. Una definizione è una definizione.

[Pozzetto1]

ok,allora te la dico meno sbrigativamente.

n vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se $x_1v_1+x_2v_2+....+x_nv_n=0$ e quindi $x_1=x_2=....=x_n=0$

meglio?

[Pozzetto1]

forse ci sono:

A=((0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0),(1,-1,0,1))

i 3 coefficienti in bold sono i miei $x_1,x_2,x_3$???

[Zilpha]

"Pozzetto":ok,allora te la dico meno sbrigativamente.

n vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se $x_1v_1+x_2v_2+....+x_nv_n=0$ e quindi $x_1=x_2=....=x_n=0$

meglio?

No.
n vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se e solo se ( $x_1v_1+x_2v_2+....+x_nv_n=0 <=> x_1=x_2=....=x_n=0$)

[Zilpha]

"jitter":Weilà Pozzetto, ti dico come ho capito io: se hai solo 2 vettori, questi 2 vettori sono dipendenti se e solo se sono proporzionali. . Se invece hai più di 2 vettori, per esempio 3, per sapere se sono dipendenti non ti basta vedere se qualcuno di essi è proporzionale: potrebbero esserlo o non esserlo, questo è il problema, perciò potresti aver bisogno di fare altri calcoli per semplificare le cifre.

Anche questo può esserti utile.