...vettori linearmente indipendenti...
Ciao a tutti.
Piccola cosa poco chiara.
Un testo mi dice quanto segue:
Ho la matrice $A=((1,1),(2,0),(1,-1))$ e riducendo a scala ottengo $A=((1,1),(0,-2),(0,0))$ che ha rango 2 e fino a qua ci siamo.
Il testo mi dice che le due colonne sono linearmente indipendenti,e questo senza nessun calcolo.
Come ha fatto a dire ciò?Mi sfugge qualcosa?
Grazie
Piccola cosa poco chiara.
Un testo mi dice quanto segue:
Ho la matrice $A=((1,1),(2,0),(1,-1))$ e riducendo a scala ottengo $A=((1,1),(0,-2),(0,0))$ che ha rango 2 e fino a qua ci siamo.
Il testo mi dice che le due colonne sono linearmente indipendenti,e questo senza nessun calcolo.
Come ha fatto a dire ciò?Mi sfugge qualcosa?
Grazie
Risposte
...forse la definizione di rango ti aiuterebbe!
Sinceramente non capisco.
ok, allora, il rango di una matrice è il numero massimo di righe (e colonne) linearmente indipendenti; avendo la matrice A rango 2 e avendo solo due colonne queste devono essere indipendenti...
Ok,questo è chiaro.
Se io invece avessi avuto più colonne?Non potevo a priori dire che queste erano linearmente indipendenti?
Se io invece avessi avuto più colonne?Non potevo a priori dire che queste erano linearmente indipendenti?
se avessi avuto più colonne, a quel punto, avresti dovuto vedere quali erano linearmente indipendenti.
Weilà Pozzetto, ti dico come ho capito io: se hai solo 2 vettori, questi 2 vettori sono dipendententi se e solo se sono proporzionali. I tuoi non lo sono, quindi sono indipendenti. Se invece hai più di 2 vettori, per esempio 3, per sapere se sono dipendenti non ti basta vedere se qualcuno di essi è proporzionale: potrebbero esserlo o non esserlo, questo è il problema, perciò potresti aver bisogno di fare altri calcoli per semplificare le cifre.
@Zilpha, mi sorge un dubbio: dicendo che se il rango è 2, allora i vettori sono indipendenti, non è una specie di circolo vizioso? A me torna che, in ordine logico, dicendo "la matrice ha rango 2", lo si dice perché si è già risposto alla domanda se i vettori sono indipendenti?
A proposito.... Pozzetto, magari avevi già capito: quando dici "la matrice ha rango 2, e fino a qua ci siamo", quando hai pensato "rango 2", non hai pensato ai vettori indipendenti? Dimmi-dimmi....
ciao
@Zilpha, mi sorge un dubbio: dicendo che se il rango è 2, allora i vettori sono indipendenti, non è una specie di circolo vizioso? A me torna che, in ordine logico, dicendo "la matrice ha rango 2", lo si dice perché si è già risposto alla domanda se i vettori sono indipendenti?
A proposito.... Pozzetto, magari avevi già capito: quando dici "la matrice ha rango 2, e fino a qua ci siamo", quando hai pensato "rango 2", non hai pensato ai vettori indipendenti? Dimmi-dimmi....
ciao
"jitter":
@Zilpha, mi sorge un dubbio: dicendo che se il rango è 2, allora i vettori sono indipendenti, non è una specie di circolo vizioso? A me torna che, in ordine logico, dicendo "la matrice ha rango 2", lo si dice perché si è già risposto alla domanda se i vettori sono indipendenti?
A proposito.... Pozzetto, magari avevi già capito: quando dici "la matrice ha rango 2, e fino a qua ci siamo", quando hai pensato "rango 2", non hai pensato ai vettori indipendenti? Dimmi-dimmi....
ciao
Può darsi che Pozzetto abbia una definizione di rango diversa... e cioè: rango della matrice è il numero di pivot dopo averla trasformata nella forma a gradini (echelon form) mediante le mosse di Gauss.
Da ciò segue (teorema) che il rango della matrice è uguale al numero di colonne o righe linearmente indipendenti.
Che ne pensi ?
"jitter":
@Zilpha, mi sorge un dubbio: dicendo che se il rango è 2, allora i vettori sono indipendenti, non è una specie di circolo vizioso? A me torna che, in ordine logico, dicendo "la matrice ha rango 2", lo si dice perché si è già risposto alla domanda se i vettori sono indipendenti?
A proposito.... Pozzetto, magari avevi già capito: quando dici "la matrice ha rango 2, e fino a qua ci siamo", quando hai pensato "rango 2", non hai pensato ai vettori indipendenti? Dimmi-dimmi....
Forse non mi sono spiegata bene. Allora ci riprovo.
Quello che ho capito dalla domanda di Pozzetto è che lui ha calcolato il rango facendo un controllo sulle righe.
Ha trovato che il rango è 2.
A questo punto si è chiesto perchè il testo afferma (senza calcoli) che le due colonne sono indipendenti.
La mia riposta è stata che:
-avendo già calcolato precedentemente che il rango è 2
-ricordando la definizione di rango
-osservando che la matrice ha solo 2 colonne
non c'è bisogno di fare altri per calcoli per concludere che le due colonne sono evidentemente indipendenti. Se così non fosse il rango non sarebbe 2.
Spero di essere stata più chiara adesso!
"Zilpha":[/quote]
[quote="jitter"]
Quello che ho capito dalla domanda di Pozzetto è che lui ha calcolato il rango facendo un controllo sulle righe.
Ha trovato che il rango è 2.
Spero di essere stata più chiara adesso!
Ciao Zilpha! Non conoscevo un'altra definizione di rango a parte quella del massimo numero di vettori indipendenti: per questo non ti avevo capita e mi dicevo: Come fa a sapere il rango senza aver riconosciuto i vettori indipendenti?
Appena riesco guardo ques'altra definizione che dice anche Cenzo! Buona domenica!
"Zilpha":
[quote="jitter"]
@Zilpha, mi sorge un dubbio: dicendo che se il rango è 2, allora i vettori sono indipendenti, non è una specie di circolo vizioso? A me torna che, in ordine logico, dicendo "la matrice ha rango 2", lo si dice perché si è già risposto alla domanda se i vettori sono indipendenti?
A proposito.... Pozzetto, magari avevi già capito: quando dici "la matrice ha rango 2, e fino a qua ci siamo", quando hai pensato "rango 2", non hai pensato ai vettori indipendenti? Dimmi-dimmi....
Forse non mi sono spiegata bene. Allora ci riprovo.
Quello che ho capito dalla domanda di Pozzetto è che lui ha calcolato il rango facendo un controllo sulle righe.
Ha trovato che il rango è 2.
A questo punto si è chiesto perchè il testo afferma (senza calcoli) che le due colonne sono indipendenti.
La mia riposta è stata che:
-avendo già calcolato precedentemente che il rango è 2
-ricordando la definizione di rango
-osservando che la matrice ha solo 2 colonne
non c'è bisogno di fare altri per calcoli per concludere che le due colonne sono evidentemente indipendenti. Se così non fosse il rango non sarebbe 2.
Spero di essere stata più chiara adesso!
[/quote]Brava!
Hai capito proprio quello che volevo dire e mi hai risolto in maniera molto chiara il dubbio.
Grazie
@Pozzetto: mi fa piacere di essere stata d'aiuto!
@jitter: scusa jitter, voglio farti notare solo una cosa, quando parli di "vettori indipendenti" ,con la parola vettori mi pare che tu ti riferisca alle colonne... devi precisare se intendi vettore riga o vettore colonna della matrice, perchè se dici solo vettore può esserci ambiguità (anche se nel caso della definizione di rango, tale ambiguità non c'è, perchè il numero massimo di righe (vettori riga) indipendenti è pari al numero max di colonne(vettori colonna) indipendenti).
@jitter: scusa jitter, voglio farti notare solo una cosa, quando parli di "vettori indipendenti" ,con la parola vettori mi pare che tu ti riferisca alle colonne... devi precisare se intendi vettore riga o vettore colonna della matrice, perchè se dici solo vettore può esserci ambiguità (anche se nel caso della definizione di rango, tale ambiguità non c'è, perchè il numero massimo di righe (vettori riga) indipendenti è pari al numero max di colonne(vettori colonna) indipendenti).
Anzi grazie Zilpha 
Già che ci sono vi chiedo un’altra cosa… Ho trovato su wikipedia la definizione a cui si riferiva Cenzo. Al di là del suo significato pratico (perché indica direttamente come fare i “conteggi”), questa definizione quindi non presuppone il fatto (ma lo implica) che i vettori riga siano indipendenti nel senso che, per esempio, A(x, y, z) + B (x’, y’, z’) = 0 implica A=B=0? Sto cercando di intuire questo fatto...
Ditemi se non sono stata chiara così provo a rispiegarmi… ciao!
Già che ci sono vi chiedo un’altra cosa… Ho trovato su wikipedia la definizione a cui si riferiva Cenzo. Al di là del suo significato pratico (perché indica direttamente come fare i “conteggi”), questa definizione quindi non presuppone il fatto (ma lo implica) che i vettori riga siano indipendenti nel senso che, per esempio, A(x, y, z) + B (x’, y’, z’) = 0 implica A=B=0? Sto cercando di intuire questo fatto...
Ditemi se non sono stata chiara così provo a rispiegarmi… ciao!
"jitter":
questa definizione quindi non presuppone il fatto (ma lo implica) che i vettori riga siano indipendenti nel senso che, per esempio, A(x, y, z) + B (x’, y’, z’) = 0 implica A=B=0?
puoi spiegarti meglio?
Nel frattempo si è chiarito, alla prossima!
meglio così! 
Ma la cosa che non mi è ancora chiara è questa:
Ho la matrice $A=((0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0),(1,-1,0,1))$ che con le mosse di Gauss diventa $A=((1,-1,0,1),(0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0))$.
La domanda è:io ho calcolato il $rk(A)=3$ il quale mi serve per calcolare la dimensione dell'immagine della mia applicazione lineare $T$.
Se il rango è $3$ sono sicuro di avere tre colonne di $A$ linearmente indipendenti e fin qua ci siamo.
Il testo a cui faccio riferimento,senza fare nessun calcolo,delle 4 colonne di $A$ come base prende le prime 3!
Questa cosa ha senso?Oppure sotto ci sono dei calcoli?
Va bene prendere 3 colonne a caso?Non credo,ma forse mi sfugge qualcosa...
Ho la matrice $A=((0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0),(1,-1,0,1))$ che con le mosse di Gauss diventa $A=((1,-1,0,1),(0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0))$.
La domanda è:io ho calcolato il $rk(A)=3$ il quale mi serve per calcolare la dimensione dell'immagine della mia applicazione lineare $T$.
Se il rango è $3$ sono sicuro di avere tre colonne di $A$ linearmente indipendenti e fin qua ci siamo.
Il testo a cui faccio riferimento,senza fare nessun calcolo,delle 4 colonne di $A$ come base prende le prime 3!
Questa cosa ha senso?Oppure sotto ci sono dei calcoli?
Va bene prendere 3 colonne a caso?Non credo,ma forse mi sfugge qualcosa...
Ma la cosa che non mi è ancora chiara è questa:
Ho la matrice $A=((0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0),(1,-1,0,1))$ che con le mosse di Gauss diventa $A=((1,-1,0,1),(0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0))$.
La domanda è:io ho calcolato il $rk(A)=3$ il quale mi serve per calcolare la dimensione dell'immagine della mia applicazione lineare $T$.
Se il rango è $3$ sono sicuro di avere tre colonne di $A$ linearmente indipendenti e fin qua ci siamo.
Il testo a cui faccio riferimento,senza fare nessun calcolo,delle 4 colonne di $A$ come base prende le prime 3!
Questa cosa ha senso?Oppure sotto ci sono dei calcoli?
Va bene prendere 3 colonne a caso?Non credo,ma forse mi sfugge qualcosa...
Ho la matrice $A=((0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0),(1,-1,0,1))$ che con le mosse di Gauss diventa $A=((1,-1,0,1),(0,1,3,0),(0,0,-2,1),(0,0,0,0))$.
La domanda è:io ho calcolato il $rk(A)=3$ il quale mi serve per calcolare la dimensione dell'immagine della mia applicazione lineare $T$.
Se il rango è $3$ sono sicuro di avere tre colonne di $A$ linearmente indipendenti e fin qua ci siamo.
Il testo a cui faccio riferimento,senza fare nessun calcolo,delle 4 colonne di $A$ come base prende le prime 3!
Questa cosa ha senso?Oppure sotto ci sono dei calcoli?
Va bene prendere 3 colonne a caso?Non credo,ma forse mi sfugge qualcosa...
Caro Pozzetto, non ti aspettare che nei testi di matematica ci sia sempre tutto spiegato per filo e per segno! in molti casi, certi passaggi, (scontati e non), vengono tralasciati, e a volte anche interi risultati lasciati per esercizio allo studente... un pò per sadismo ... un pò per far attivare il cervello!
Fatta questa premessa, alla base della scelta del testo, non c'è un vero proprio calcolo, è sufficiente un semplice ragionamento, anche senza imbattersi nei conti, che capisco, soprattutto quando si è alle prime armi, si è sempre portati a fare... perchè in fondo in fondo sono rassicuranti... ci sentiamo a posto dopo aver fatto il nostro bel conticino, anche quando è inutile!
Allora tornando al problema, è ovvio che non puoi prendere colonne a caso, te ne servono 3 indipendenti.
Ora ti chiedo: perchè non scrivi le colonne di A che sono a tre a tre indipendenti? E le prime 3 ti risultano esserlo?
... un pò per far attivare il cervello!Fatta questa premessa, alla base della scelta del testo, non c'è un vero proprio calcolo, è sufficiente un semplice ragionamento, anche senza imbattersi nei conti, che capisco, soprattutto quando si è alle prime armi, si è sempre portati a fare... perchè in fondo in fondo sono rassicuranti... ci sentiamo a posto dopo aver fatto il nostro bel conticino, anche quando è inutile!
Allora tornando al problema, è ovvio che non puoi prendere colonne a caso, te ne servono 3 indipendenti.
Ora ti chiedo: perchè non scrivi le colonne di A che sono a tre a tre indipendenti? E le prime 3 ti risultano esserlo?
"Zilpha":
Ora ti chiedo: perchè non scrivi le colonne di A che sono a tre a tre indipendenti? E le prime 3 ti risultano esserlo?
Non mi è chiaro ancora sinceramente....
"Pozzetto":
[quote="Zilpha"]Ora ti chiedo: perchè non scrivi le colonne di A che sono a tre a tre indipendenti? E le prime 3 ti risultano esserlo?
Non mi è chiaro ancora sinceramente....[/quote]
Scusa, conosci la definizione di vettori linearmente indipendenti?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo