Vettori linearmente indipendenti

[Carminep12]

Buongiorno, la mia domanda è piuttosto semplice. Se scrivo dei vettori di R^n in una matrice, facendo loro corrispondere le righe della matrice, ed eseguo delle operazioni elementari sulle righe stesse, il rango non cambia e posso vedere, calcolando ad esempio il determinante con il metodo dei minori orlati, dopo una riduzione parziale, o riducendo a gradini completamente, qual è il rango, e quindi se i vettori sono tutti linearmente indipendenti o, nel caso, quanti vettori lo sono. Ma è possibile, riducendo la matrice con operazioni elementari, dire anche quali vettori sono linearmente indipendenti fra loro e quali no? Certamente senza le operazioni sulle righe della matrice e applicando subito, ad esempio, il metodo dei minori orlati, è possibile sapere quali sono con precisione, perché sono quelli che danno il minore maggiore non nullo, ma se eseguo operazioni elementari (e intendo scambio di righe, addizione di una riga a un 'altra, somma di una riga con un'altra riga moltiplicata per uno scalare, sostituzione di una riga con un suo multiplo non nullo)? Personalmente ho la sensazione che non si possa dire quali vettori sono linearmente indipendenti, sempre e con precisione, se queste vengono effettuate, ma solo quanti siano. Un'ultima fondamentale domanda: in base alla risposta che mi darete, scrivendo la matrice facendo corrispondere ai vettori le colonne, ed effettuando le stesse operazioni sulle RIGHE, cambia qualcosa? Grazie in anticipo.

[Magma1]

"Carmine12":Se scrivo dei vettori di $RR^n$ ([nota]

$ RR^n $

[/nota]) in una matrice, facendo loro corrispondere le righe della matrice, ed eseguo delle operazioni elementari sulle righe stesse, il rango non cambia e posso vedere, calcolando ad esempio il determinante con il metodo dei minori orlati, dopo una riduzione parziale, o riducendo a gradini completamente, qual è il rango, e quindi se i vettori sono tutti linearmente indipendenti o, nel caso, quanti vettori lo sono.

Le operazioni elementari alterano il determinante.

Per calcolare il rango occorre ridurre per righe la matrice fino ad ottenere almeno un pivot su ogni riga non nulla; le righe che si annullano durante il procedimento sono c.l. delle rimanenti mentre il ragno è il numero di righe non nulle della matrice ridotta per righe. Ad esempio, data la matrice

$A=((1,0,1),(0,1,0),(2,2,1))$

si vede subito che $R_3=R_1+R_2$ pertanto la ridotta per righe è

$A'=((1,0,1),(0,1,0),(0,0,0))$

la quale ha almeno un pivot su ogni riga non nulla. Si può concludere che

$r(A)=r(A')=2$

[Carminep12]

È vero, alterano il determinante ma, a prescindere dalla riduzione, esso, se nullo, resta nullo e, se non nullo, resta non nullo...questo proprio perché il rango resta invariato...

[dissonance]

"Carmine12":Buongiorno, la mia domanda è piuttosto semplice. Se scrivo dei vettori di R^n in una matrice, facendo loro corrispondere le righe della matrice, ed eseguo delle operazioni elementari sulle righe stesse, il rango non cambia e posso vedere, calcolando ad esempio il determinante con il metodo dei minori orlati, dopo una riduzione parziale, o riducendo a gradini completamente, qual è il rango, e quindi se i vettori sono tutti linearmente indipendenti o, nel caso, quanti vettori lo sono. Ma è possibile, riducendo la matrice con operazioni elementari, dire anche quali vettori sono linearmente indipendenti fra loro e quali no? Certamente senza le operazioni sulle righe della matrice e applicando subito, ad esempio, il metodo dei minori orlati, è possibile sapere quali sono con precisione, perché sono quelli che danno il minore maggiore non nullo, ma se eseguo operazioni elementari (e intendo scambio di righe, addizione di una riga a un 'altra, somma di una riga con un'altra riga moltiplicata per uno scalare, sostituzione di una riga con un suo multiplo non nullo)? Personalmente ho la sensazione che non si possa dire quali vettori sono linearmente indipendenti, sempre e con precisione, se queste vengono effettuate, ma solo quanti siano. Un'ultima fondamentale domanda: in base alla risposta che mi darete, scrivendo la matrice facendo corrispondere ai vettori le colonne, ed effettuando le stesse operazioni sulle RIGHE, cambia qualcosa? Grazie in anticipo.

[ot]Se usassi maggiormente il ritorno a capo e la divisione in paragrafi eviteresti l'effetto "muro di testo", che rende il post di difficile lettura. Il post è anche troppo lungo. Sintetizzando e dividendo meglio in paragrafi ti esprimeresti meglio e avresti risposta molto più facilmente.[/ot]