Vettori in \(\displaystyle R^n \)

[randomize]

Siamo in \(\displaystyle R^n \) con \(\displaystyle n>4 \)
Ho 4 vettori: \(\displaystyle v1, v2, v3, v4\) tali che
\(\displaystyle \| v1\| = \| v2\|\)
\(\displaystyle \| v3\| = \| v4\|\)
\(\displaystyle \| v1 - v3\| = \| v2 - v4\|\)
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v3) = \cos(\angle v2,v4)\)
\(\displaystyle \| v1 - v4\| = \| v2 - v3\|\)
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v4) = \cos(\angle v2,v3)\)
e inoltre
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v2) = \cos(\angle v3,v4) = 0\)
\(\displaystyle v1, v2, v3, v4 \) sono linearmente indipendenti
\(\displaystyle (v1 - v4) \cdot (v2 - v3) \neq 0 \)

Da queste ipotesi si può dimostrare che: \(\displaystyle \| v1 - v2\| = \| v3 - v4\|\) ?



Mi sto scervellando su questo problema che per me è importante.
Vi ringrazio.


P.S.
con il simbolo \(\displaystyle \cos(\angle v1,v2)\) intendo il coseno dell'angolo tra \(\displaystyle v1\) e \(\displaystyle v2\), l'ho voluto specificare in quanto non so se la simbologia che ho usato sia esatta.

[Frink1]

Ti rispondo con un controesempio che smentisce la tua affermazione.

Sia $v_3=(1, 0, \ ... \ , 0)$, a partire da questo definiamo gli altri tre vettori (sto lavorando in $\mathbb{R}^n$ con $n$ qualsiasi).
$v_1=2v_3$, $v_2=-2v_3$, $v_4=-v_3$.

Fai da te i conti e vedrai che non tornano...

Dove l'hai trovato?

[randomize]

Ciao Frink
prima cosa ti ringrazio per aver risposto, ma l'ultima ipotesi non è verificata completamente, ovvero secondo quanto tu hai posto viene \(\displaystyle \cos(\angle v1,v2) = \cos(\angle v3,v4) = -1\) e non \(\displaystyle \cos(\angle v1,v2) = \cos(\angle v3,v4) = 0\). Hai qualche altro suggerimento? Gazie.


Non l'ho trovato questo problema ma è conseguenza di alcuni calcoli che stavo facendo e non ne riesco ad uscire, il problema è più ampio ma l'ho tagliato perché credo non sia di interesse comune.

[Frink1]

Scusa, non avevo proprio visto lo $0$!

Riproviamo:
$v_1=(2,0, ...\ ,0)$
$v_2=(0,2,0, ...\ ,0)$
$v_3=1/2 v_1$
$v_4=1/2 v_2$

Questi dovrebbero funzionare...

[randomize]

Grazie Frink per la risposta... funziona perfettamente.
Adesso però mi si sono complicate le cose, ovvero le ipotesi sono

\(\displaystyle \| v1\| = \| v2\|\)
\(\displaystyle \| v3\| = \| v4\|\)
\(\displaystyle \| v1 - v3\| = \| v2 - v4\|\)
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v3) = \cos(\angle v2,v4)\)
\(\displaystyle \| v1 - v4\| = \| v2 - v3\|\)
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v4) = \cos(\angle v2,v3)\)
e inoltre
\(\displaystyle \cos(\angle v1,v2) = \cos(\angle v3,v4) = 0\)

e ancora \(\displaystyle v1, v2, v3, v4 \) sono linearmente indipendenti
e ancora \(\displaystyle (v1 - v4) \cdot (v2 - v3) \neq 0 \)



Da queste ipotesi si può dimostrare che: \(\displaystyle \| v1 - v2\| = \| v3 - v4\|\) ?


Grazie:-)