Vettori geometrici
Salve a tutti, ho risolto questo problemino ma non mi convince. Potete dirmi gentilmente se è corretto? Grazie!
Si considerino i vettori u = 3j + k, v = i + j - k, w = -2i + j + 2k
1) Verificare che sono indipendenti
2) Determinare il vettore t proiezione ortogonale di u sul piano di v, w
Allora, per quanto riguarda il primo punto non ho problemi comunque lo riporto lo stesso.
1) Tre vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non sono complanari, ovvero
$ | (0,3,1),(1,1,-1),(-2,1,2) | != 0 =>$ applicando Laplace $ -3|(1,-1),(-2,2)| - |(1,1),(-2,1)| = -3 != 0 $ quindi sono indipendenti.
Per il secondo punto invece:
Sia $\alpha$ il piano, si ha: $ u_\alpha = u - u_T $ con $ u_T$ la proiezione di u sul sottospazio T generato da t.
Il vettore t si può determinare come
$ v^^w = |(i,j,k),(1,1,-1),(-2,1,2)| = i |(1,-1),(1,2)| -j |(1,-1),(-2,2)| +k |(1,1),(-2,1)| = 3i +3k $
da cui $ u_T = (ut)/(||t||^2)t = [(0,3,1) (3,0,3) ]/18 t = 1/6 (3,0,3)$
Pertanto $ U_\alpha = (0,3,1) - (1/2,0,1/2) = (-1/2,3,1/2)
E' giusto? C'era un modo più semplice per risolverlo?
Qualsiasi consiglio abbiate scrivete pure.
Vi ringrazio tanto!
Si considerino i vettori u = 3j + k, v = i + j - k, w = -2i + j + 2k
1) Verificare che sono indipendenti
2) Determinare il vettore t proiezione ortogonale di u sul piano di v, w
Allora, per quanto riguarda il primo punto non ho problemi comunque lo riporto lo stesso.
1) Tre vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non sono complanari, ovvero
$ | (0,3,1),(1,1,-1),(-2,1,2) | != 0 =>$ applicando Laplace $ -3|(1,-1),(-2,2)| - |(1,1),(-2,1)| = -3 != 0 $ quindi sono indipendenti.
Per il secondo punto invece:
Sia $\alpha$ il piano, si ha: $ u_\alpha = u - u_T $ con $ u_T$ la proiezione di u sul sottospazio T generato da t.
Il vettore t si può determinare come
$ v^^w = |(i,j,k),(1,1,-1),(-2,1,2)| = i |(1,-1),(1,2)| -j |(1,-1),(-2,2)| +k |(1,1),(-2,1)| = 3i +3k $
da cui $ u_T = (ut)/(||t||^2)t = [(0,3,1) (3,0,3) ]/18 t = 1/6 (3,0,3)$
Pertanto $ U_\alpha = (0,3,1) - (1/2,0,1/2) = (-1/2,3,1/2)
E' giusto? C'era un modo più semplice per risolverlo?
Qualsiasi consiglio abbiate scrivete pure.
Vi ringrazio tanto!
Risposte
ciao per il primo punto non ci sono problemi, ma la seconda parte mi sembra un pò confusa, o forse sono io che non ho capito la domanda.. 
..cmq tu devi trovare la proiezione, t, del vettore u sullo spazio generato da u e w, ok ?
quindi perchè hai fatto il prodotto scalare tra v e w ? avresti dovuto farlo tra u e w per trovare un vettore ortogonale a quel piano secondo me.
poi non capisco come fai a trovare la proiezione di u sul piano da lui stesso generato??
..cmq tu devi trovare la proiezione, t, del vettore u sullo spazio generato da u e w, ok ? quindi perchè hai fatto il prodotto scalare tra v e w ? avresti dovuto farlo tra u e w per trovare un vettore ortogonale a quel piano secondo me.
poi non capisco come fai a trovare la proiezione di u sul piano da lui stesso generato??
"stefano_89":
ciao per il primo punto non ci sono problemi, ma la seconda parte mi sembra un pò confusa, o forse sono io che non ho capito la domanda..
quindi perchè hai fatto il prodotto scalare tra v e w ? avresti dovuto farlo tra u e w per trovare un vettore ortogonale a quel piano secondo me.
poi non capisco come fai a trovare la proiezione di u sul piano da lui stesso generato??
Hai ragione ho sbagliato a scrivere la traccia. Ora correggo.
Alla fine io considero la proiezione ortogonale di u sul sottospazio T generato da t, non da lui stesso.
Alla fine io considero la proiezione ortogonale di u sul sottospazio T generato da t, non da lui stesso.
ah ok. adesso è più chiaro effettiavamente..
Cmq se posso consigliarti il metodo classico (forse lo hai usato anche tu ma non capisco ): trovi il vettore ortogonale con il prodotto scalare come hai fatto tu. Dopo, se vuoi risparmiarti qualche calcolo, puoi trovare la proiezione di u lungo il vettore ortogonale (visto che la sua base è un unico vettore), e infine fai semplicemnte la differenza tra u e il vettore proiezione appena trovato.. spero di essere stato chiaro..
Sia {i, j, k} una base ortonormale. Siano dati i vettori $ v_1 = i+2j+3k, v_2 = (1-h)j+k, v_3 = i+hj+k $ con h parametro reale,
e u = i+2j+k, v = i+3k, w = 3i+2j+5k.
a) determinare i valori di h per cui $ v_1, v_2, v_3 $ formano una base di $ V_3 $
b) Per h = 0: esprimere, se possibile, w come combinazione lineare di $v_1, v_2, v_3 $
c) Determinare i versori complanari con u e v ortogonali a w.
d) Dire per quali valori di h i vettori $ v_2, v_3 $ formano un angolo convesso > di 90°
Ho risolto il problema in questo modo:
a) $ {v_1, v_2, v_3} $ è una base di $ V_3 $ se e solo se i tre vettori sono linearmente indipendenti, ovvero:
$ | (1, 2, 3), (0, 1-h, 1), (1, h, 1)| != 0 => (1-h) |(1, 3), (1, 1)| - |(1, 2), (1, h)| = -2 +2h -h +2 = h $ Pertanto $ h != 0 $
b) dall'esercizio precedente si nota che con h = 0 i tre vettori $v_1, v_2, v_3 $ sono lin. dipendenti cioè complanari ed in particolare risultano:
$ v_1 = i+2j+3k, v_2 = j+k, v_3 = i+k $
Scrivere w=(3, 2, 5) come combinazione lineare di $ v_1 = (1, 2, 3), v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 0, 1) $ significa
(3, 2, 5) = a(1, 2, 3) +b(0, 1, 1) +c(1, 0, 1) che equivale al sistema:
$ {(a+c=3), (2a+b=2), (3a+b+c=5):} => {(a=3-c), (6-2c+b=2), (9-3c+b+c=5):} => {(a=3-c), (b=-4-2c), (9-2c-4-2c=5):} => {(a=3), (b=-4), (c=0):} $
d) $ cos (v_2, v_3) = (v_2·v_3)/(||v_2||·||v_3||) = (h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)] =>
$(v_2, v_3) = arccos [(h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)]] > \pi/2 => (h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)] >0 =>$ Il denominatore risulta positivo per ogni h quindi la condizione risulta: $(1-sqrt(5))/2
Per quanto riguarda il punto c) come dovrei procedere?
e u = i+2j+k, v = i+3k, w = 3i+2j+5k.
a) determinare i valori di h per cui $ v_1, v_2, v_3 $ formano una base di $ V_3 $
b) Per h = 0: esprimere, se possibile, w come combinazione lineare di $v_1, v_2, v_3 $
c) Determinare i versori complanari con u e v ortogonali a w.
d) Dire per quali valori di h i vettori $ v_2, v_3 $ formano un angolo convesso > di 90°
Ho risolto il problema in questo modo:
a) $ {v_1, v_2, v_3} $ è una base di $ V_3 $ se e solo se i tre vettori sono linearmente indipendenti, ovvero:
$ | (1, 2, 3), (0, 1-h, 1), (1, h, 1)| != 0 => (1-h) |(1, 3), (1, 1)| - |(1, 2), (1, h)| = -2 +2h -h +2 = h $ Pertanto $ h != 0 $
b) dall'esercizio precedente si nota che con h = 0 i tre vettori $v_1, v_2, v_3 $ sono lin. dipendenti cioè complanari ed in particolare risultano:
$ v_1 = i+2j+3k, v_2 = j+k, v_3 = i+k $
Scrivere w=(3, 2, 5) come combinazione lineare di $ v_1 = (1, 2, 3), v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 0, 1) $ significa
(3, 2, 5) = a(1, 2, 3) +b(0, 1, 1) +c(1, 0, 1) che equivale al sistema:
$ {(a+c=3), (2a+b=2), (3a+b+c=5):} => {(a=3-c), (6-2c+b=2), (9-3c+b+c=5):} => {(a=3-c), (b=-4-2c), (9-2c-4-2c=5):} => {(a=3), (b=-4), (c=0):} $
d) $ cos (v_2, v_3) = (v_2·v_3)/(||v_2||·||v_3||) = (h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)] =>
$(v_2, v_3) = arccos [(h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)]] > \pi/2 => (h-h^2+1)/[sqrt(h^2-2h+2) sqrt(h^2+2)] >0 =>$ Il denominatore risulta positivo per ogni h quindi la condizione risulta: $(1-sqrt(5))/2
Per quanto riguarda il punto c) come dovrei procedere?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo