Vettori dipendenti/indipendenti?

[Fab996]

Come verifico che questi vettori siano indipendenti o dipendenti?
$ v =1+4x-3x^(2)$ $u=1+x$ $w=x-x^(2)$... io ho fatto così $a(1+4x-3x^(2))+b(1+x)+c(x-x^(2))=$ al vettore zero.. solo mentre per le matrici e i vettori "normali" ho capito come devo fare dato che il numero di elementi dei vettori è uguale al numero di elementi del vettore 0, con i polinomi non capisco quanti zeri mettere...

[billyballo2123]

\[
a(1+4x-3x^2)+b(1+x)+c(x-x^2)=(a+b)+(4a+b+c)x+(-3a-c)x^2=0+0x+0x^2.
\]
Affinché i due polinomi siano uguali, devi uguagliare i coefficienti delle potenze di $x$:
$ { ( a+b=0 ),( 4a+b+c=0 ),( -3a-c=0 ):} $.
Dunque
$ { ( b=-a ),( 4a-a-3a=0 ),( c=-3a ):} $
$ { ( b=-a ),( 0=0 ),( c=-3a ):} $
Dunque poni $a=t$ e ottieni
\[
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
-3
\end{bmatrix};
\]
per ogni valore fissato di $t$, la tua combinazione lineare si annulla se e solo se $a=t$, $b=-t$ e $c=-3t$, dunque i vettori sono linearmente dipendenti.

[Fab996]

"billyballo2123":\[
a(1+4x-3x^2)+b(1+x)+c(x-x^2)=(a+b)+(4a+b+c)x+(-3a-c)x^2=0+0x+0x^2.
\]
Affinché i due polinomi siano uguali, devi uguagliare i coefficienti delle potenze di $x$:
$ { ( a+b=0 ),( 4a+b+c=0 ),( -3a-c=0 ):} $.
Dunque
$ { ( b=-a ),( 4a-a-3a=0 ),( c=-3a ):} $
$ { ( b=-a ),( 0=0 ),( c=-3a ):} $
Dunque poni $a=t$ e ottieni
\[
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
-3
\end{bmatrix};
\]
per ogni valore fissato di $t$, la tua combinazione lineare si annulla se e solo se $a=t$, $b=-t$ e $c=-3t$, dunque i vettori sono linearmente dipendenti.

Grazie!:)