Vettori
1)Presi 5 vettori in R7; perchè essi siano linearmente dipendenti A)è necessario che il vettore nullo sia uno di essi; B)è sufficiente che per due di loro uno sia multiplo dell'altro; C)è necessario che per due di loro uno sia multplo dell'altro; D)nessuno dei precedenti
2)dati i vettori Z=(1,2,3) T=(2,1,3) K=(1, b,2) A)possono essere dipendenti o indipendenti a seconda del valore di b; B)sono linearmente dipendenti; C)sono linearmente indipendenti; D)nessuno delle risp precedenti
Vi prego aiutatemi non riesco a capire i vettori...!!!!!!Grazie!
2)dati i vettori Z=(1,2,3) T=(2,1,3) K=(1, b,2) A)possono essere dipendenti o indipendenti a seconda del valore di b; B)sono linearmente dipendenti; C)sono linearmente indipendenti; D)nessuno delle risp precedenti
Vi prego aiutatemi non riesco a capire i vettori...!!!!!!Grazie!
Risposte
Per il primo punto la risposta giusta è B.
$n$ vettori sono linearmente indipendenti se $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=0$ è verificata solo per $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=0$.
Nel nostro caso se uno dei cinque vettori è il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente indipendenti, in quanto il coefficiente che moltiplica il vettore nullo può essere diverso da zero, e l'uguaglianza sarebbe verificata. Dire però che è "necessario" è sbagliato, questa condizione è sufficiente.
Se uno dei vettori è multiplo dell'altro, cioè $v_{i}=\beta v_{j}$, basta scegliere il coefficiente di $v_{i}$ uguale a $-\beta$, di $v_{j}$ uguale a $1$, e l'uguaglianza è soddisfatta. Questa condizione è sufficiente ma non necessaria, quindi il punto B è quello giusto.
Dato che la condizione non è necessaria il punto C è sbagliato, così come è sbagliato il punto D.
Per quanto riguarda il punto due, puoi costruire una matrice che ha per righe quei tre vettori. I vettori sono linearmente indipendenti se la matrice ha rango pieno, in questo caso $3$.
Per il calcolo del rango si può ridurre la matrice a scala, ottenendo:
$((1, 2, 3),(0, 2-b, 1),(0, 1, 1))$
La matrice è a rango pieno se e solo se $2-b \ne 1$, cioè $b \ne 1$.
I tre vettori sono linearmente indipendenti se $b \ne 1$.
$n$ vettori sono linearmente indipendenti se $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=0$ è verificata solo per $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=0$.
Nel nostro caso se uno dei cinque vettori è il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente indipendenti, in quanto il coefficiente che moltiplica il vettore nullo può essere diverso da zero, e l'uguaglianza sarebbe verificata. Dire però che è "necessario" è sbagliato, questa condizione è sufficiente.
Se uno dei vettori è multiplo dell'altro, cioè $v_{i}=\beta v_{j}$, basta scegliere il coefficiente di $v_{i}$ uguale a $-\beta$, di $v_{j}$ uguale a $1$, e l'uguaglianza è soddisfatta. Questa condizione è sufficiente ma non necessaria, quindi il punto B è quello giusto.
Dato che la condizione non è necessaria il punto C è sbagliato, così come è sbagliato il punto D.
Per quanto riguarda il punto due, puoi costruire una matrice che ha per righe quei tre vettori. I vettori sono linearmente indipendenti se la matrice ha rango pieno, in questo caso $3$.
Per il calcolo del rango si può ridurre la matrice a scala, ottenendo:
$((1, 2, 3),(0, 2-b, 1),(0, 1, 1))$
La matrice è a rango pieno se e solo se $2-b \ne 1$, cioè $b \ne 1$.
I tre vettori sono linearmente indipendenti se $b \ne 1$.
grazie! un'altra piccola domanda: qual è la condizione necessaria allora perchè due vettori siano linearmente dipendenti? 
La condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme di vettori sia linearmente dipendente è che la sommatoria che ho scritto prima sia verificata per coefficienti $\alpha_{i}$ non tutti nulli.
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