Vettore ortogonale ad un altro

[Flam1]

Salve a tutti!! Vorrei proporvi un esercizio sui vettori del quale non riesco a trovare soluzione(e dire che appena l'ho visto credevo fosse facile!) comunque:

Fissato un riferimento ortonormale $ R = (O,B)$ nello spazio $ S_(3) $, siano assegnati i vettori $bar (u) = (-1 , 1 , 0)$ e $bar (v) = (0, -2 , 1 )$.
Determinare l'unico vettore $ bar(w) in V_(3)$ ortogonale ad $bar(u) $ e tale che $ bar (u) ^^ bar(v) = bar(u) ^^ bar(w) $

aiuto per favore!!

[^Tipper^1]

$w=ai+bj+cj$

$u=-i+j$

$(ai+bj+cj)*(-i+j)=0 -> -a+b=0$

$uxxv=i+j+2k$

$uxxw=i(c)+j(c)+k(-b-a)$

$(1,1,2)=(c,c,-b-a)$

${(-a+b=0),(c=1),(-b-a=2):}-> {(a=-1),(b=-1),(c=1):}$

$w=-i-j+k$

Non ho fatto la verifica per controllare se ho fatto bene.

[Flam1]

"Mirino06":$w=ai+bj+cj$

$u=-i+j$

$(ai+bj+cj)*(-i+j)=0 -> -a+b=0$

$uxxv=i+j+2k$

$uxxw=i(c)+j(c)+k(-b-a)$

$(1,1,2)=(c,c,-b-a)$

${(-a+b=0),(c=1),(-b-a=2):}-> {(a=-1),(b=-1),(c=1):}$

$w=-i-j+k$

Non ho fatto la verifica per controllare se ho fatto bene.

E' corretto! grazie per l'aiuto! Però non ho capito il procedimento che hai usato per ricavarti $ bar (w) $

[^Tipper^1]

Ho scritto $w$ come un generico vettore: $ai+bj+ck$.

Siccome $w$ deve essere ortogonale ad $u$, ho imposto il prodotto scalare uguale a zero, $u*W=0$, ricavando così $-a+b=0$

Ho calcolato $uxxv$ e poi $uxxw$, dopodiché li ho uguagliati, visto che il testo che mi chiedeva che $uxxv$ fosse uguale a $uxxw$. Capito?

[Flam1]

"Mirino06":Ho scritto $w$ come un generico vettore: $ai+bj+ck$.

Siccome $w$ deve essere ortogonale ad $u$, ho imposto il prodotto scalare uguale a zero, $u*W=0$, ricavando così $-a+b=0$

Ho calcolato $uxxv$ e poi $uxxw$, dopodiché li ho uguagliati, visto che il testo che mi chiedeva che $uxxv$ fosse uguale a $uxxw$. Capito?

chiarissimo. ti ringrazio davvero molto!! sono riuscito a risolverlo! (per merito tuo ovviamente)

[rizzellidj]

"Mirino06":

$(ai+bj+cj)*(-i+j)=0 -> -a+b=0$

scusa non ho capito questo passaggio... come ti fa ad uscire -a+b=0 ..Grazie!!

[^Tipper^1]

Non hai capito perché $(ai+by+ck)*(-i+j)=0$ fa $-a+b=0$ oppure non hai capito perché ho imposto la condizione $(ai+by+ck)*(-i+j)=0$?

Nel caso della prima: devi moltiplicare componente per componente. Quindi: $a*-i=-a, b*j=b, c*0k=0$, quindi $-a+b$

[rizzellidj]

ora ho capito. in pratica io ho un esercizio simile e sto cercando di capire come si svolgono questo tipo di esercizi.

si considerano i vettori u=(1,2,-1) , v=(2,1,4), w=(1,0,2) si determini il vettore x ortogonale a w tale che $u ^^ x = v$

[^Tipper^1]

$x=ai+bj+ck$

$x*w=0 -> (ai+bj+ck)*(i+2k)=0 -> a+2c=0$

Poi calcoli il prodotto vettoriale $uxxx$ e il risultato lo uguagli a $v$.

Poi metti a sistema tutte le condizioni che hai trovato.

[rizzellidj]

ma espresso in coordinate quanto vale x?
io ho a+2c=0 come faccio ad eseguire il prodotto vettoriale con u?
grazie

[^Tipper^1]

$x=(a,b,c)$

$uxxx=|(i,j,k),(1,2,-1),(a,b,c)|=i(2c+b)+j(-a-c)+k(b-2a)$

$i(2c+b)+j(-a-c)+k(b-2a)=v=(2,1,4)=2i+j+4k=$ Quindi: ${(2c+b=2),(-a-c=1),(b-2a=4):}$

Poi, visto che $x$ deve essere ortogonale a $w$ hai la codizione (che ho scritto nel messaggio precedente) $a+2c=0$.

Quindi, si tratta di risolvere il sistema ${(2c+b=2),(-a-c=1),(b-2a=4),(a+2c=0):}$ che dà come soluzione il vettore $(-2,0,1)=-2i+k$

[rizzellidj]

allora ok mi è uscito. ma mi sono bloccato su una cosa banale..in pratica non sto capendo perchè quando esegui questa operazione

$uxxx=|(i,j,k),(1,2,-1),(a,b,c)|=i(2c+b)+j(-a-c)+k(b-2a)$

ti esce $j(-a-c)$ mentre a me esce $-j(a+c)$ ..però in effetti se faccio come dici tu esce se faccio come dico io no , quindi sbaglio io.. mi puoi spiegare per favore?

[Antimius]

Ma $-j(a+c)=j(-a-c)$.

[rizzellidj]

cavolo ma quando eseguo la sostituzione alla fine non mi esce l'esercizio... bhoo

[^Tipper^1]

Si può mettere il $-$ alla $j$ e poi fare $c+a$, oppure mettere $+$ alla $j$ e poi fare: NON $c+a$ ma $-a-c$. Usa il metodo con cui ti trovi meglio.