Vettore nullo nel sottospazio
Ragazzi vengo al primo dubbio che mi si presenta dall'inizio dell'uni. (Primo di molti futuri, lo so già)
Mi rendo conto che dovrebbe essere ovvio, in quanto non spiegato sul libro, ma non mi appare immediato: non riesco a comprendere perché verificata la chiusura del mio sottospazio W (sottospazio di un R spazio vettoriale V) rispetto alla
-somma
-prodotto per scalare
Allora sicuramente il vettore nullo farà parte di W
In altre parole verificare un sottospazio sia effettivamente un sottospazio è semplice: verifico valgano le due operazioni nuovamente, però perché questo mi garantisce il vettore nullo faccia parte di W?
Grazie
Mi rendo conto che dovrebbe essere ovvio, in quanto non spiegato sul libro, ma non mi appare immediato: non riesco a comprendere perché verificata la chiusura del mio sottospazio W (sottospazio di un R spazio vettoriale V) rispetto alla
-somma
-prodotto per scalare
Allora sicuramente il vettore nullo farà parte di W
In altre parole verificare un sottospazio sia effettivamente un sottospazio è semplice: verifico valgano le due operazioni nuovamente, però perché questo mi garantisce il vettore nullo faccia parte di W?
Grazie
Risposte
Lo zero e' un particolare scalare rispetto alla moltiplicazione per il quale $W$ e' chiuso. E il fatto che $0_K \cdot v = 0$ segue dal fatto che $0_K \cdot v = 2 \cdot 0_K \cdot v = 0_K \cdot v$.
Avere dubbi e cercare risposte è un processo base in matematica, non preoccupartene.
Vi ringrazio per le risposte, in particolare replico a
Immaginavo fosse per questo, e forse il problema del dubbio nasce a monte di questo, ovvero:
1) Non capisco in base a cosa il vettore nullo di uno spazio vettoriale sia sicuramente vettore nullo anche per il suo sottospazio (cosa mi garantisce cioè che il nullo di un sottospazio sia lo stesso dello spazio da cui prende origine?). E' stato dato per scontato forse e non dimostrato, ma non mi appare evidente.
ES: il sottospazio {(a,b,c,d|€R^4|a+b=0} sottospazio di R^4 ha vetore nullo (0,0,0,0) ma perché? Perché il sottospazio ha vettore nullo uguale a quello dello spazio? Non comprendo.
2) Mi pare inoltre di notare che il professore individui il vettore nullo con semplicità per ogni spazio vettoriale, ma è davvero così immediato (cioè tutti zeri) o c'è un modo più "razionale" per ottenerlo? Una volta individuato un vettore nullo sono d'accordo che sia solo quello (per l'unicità del nullo appunto, che è asicurata dalla presenza del neutro e quindi dimostrabile) però in uno spazio del tipo {(a,b,c,d) € R^4} è facile perché è evidente (0,0,0,0) sia il vettore nullo. Ma in spazi ben più complessi e meno "intuitivi" come lo individuo?
A questo punto se invece capisco che è facile da individuare, la domanda del post di apertura si elide infatti basta fare una combinazione di scalari zero e annullo tutto (come mi spiegavi).
Grazie
"killing_buddha":
Lo zero e' un particolare scalare rispetto alla moltiplicazione per il quale $W$ e' chiuso. E il fatto che $0_K \cdot v = 0$ segue dal fatto che $0_K \cdot v = 2 \cdot 0_K \cdot v = 0_K \cdot v$.
Immaginavo fosse per questo, e forse il problema del dubbio nasce a monte di questo, ovvero:
1) Non capisco in base a cosa il vettore nullo di uno spazio vettoriale sia sicuramente vettore nullo anche per il suo sottospazio (cosa mi garantisce cioè che il nullo di un sottospazio sia lo stesso dello spazio da cui prende origine?). E' stato dato per scontato forse e non dimostrato, ma non mi appare evidente.
ES: il sottospazio {(a,b,c,d|€R^4|a+b=0} sottospazio di R^4 ha vetore nullo (0,0,0,0) ma perché? Perché il sottospazio ha vettore nullo uguale a quello dello spazio? Non comprendo.
2) Mi pare inoltre di notare che il professore individui il vettore nullo con semplicità per ogni spazio vettoriale, ma è davvero così immediato (cioè tutti zeri) o c'è un modo più "razionale" per ottenerlo? Una volta individuato un vettore nullo sono d'accordo che sia solo quello (per l'unicità del nullo appunto, che è asicurata dalla presenza del neutro e quindi dimostrabile) però in uno spazio del tipo {(a,b,c,d) € R^4} è facile perché è evidente (0,0,0,0) sia il vettore nullo. Ma in spazi ben più complessi e meno "intuitivi" come lo individuo?
A questo punto se invece capisco che è facile da individuare, la domanda del post di apertura si elide infatti basta fare una combinazione di scalari zero e annullo tutto (come mi spiegavi).
Grazie
cosa mi garantisce cioè che il nullo di un sottospazio sia lo stesso dello spazio da cui prende origine?
Fa parte della definizione di sottospazio. In generale, se $M$ è un monoide un suo sottomonoide è un sottosemigruppo che contiene l'elemento neutro.
Mi pare inoltre di notare che il professore individui il vettore nullo con semplicità per ogni spazio vettoriale, ma è davvero così immediato (cioè tutti zeri) o c'è un modo più "razionale" per ottenerlo?
In generale non puoi, ma la maggior parte delle volte lo zero è proprio fatto da "un sacco di zeri"; devi però stare atento che stai confondendo un vettore astratto con le sue coordinate, la qual cosa ti è permessa dal fatto che ogni spazio vettoriale ha una base (ovvero esiste un isomorfismo $V \cong \mathbb K^\Gamma = \oplus_{\gamma\in\Gamma} \mathbb K$ per un certo insieme $\Gamma$). Questo abuso di notazione è innocuo, perché lo zero ha le stesse coordinate fatte di zeri in qualsiasi base, e del resto formalmente è impreciso.
$0v = (0+0)v = 0v+0v$ quindi $0v = 0v+0v$ quindi sommando $-0v$ ad entrambi i lati $0v=0$. Il vettore nullo è lo stesso nello spazio e nel sottospazio per definizione di sottospazio.
Diciamo che ci sono due modi di vederla.
Il primo è quello che se $V$ è uno spazio vettoriale allora $(V;+)$ è un gruppo abeliano.
Un sottospazio $W$ sarà anche un sottogruppo di $(V;+)$ è per definizione di sottogruppo l’elemento neutro del gruppo deve essere contenuto in esso e se $W$ contiene un elemento deve contenere anche il suo inverso.
Il secondo è quello che se $V$ è uno spazio e $W$ è un sottospazio, allora è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Dunque vale che $foralllambda inKforallw inW, lambda*w inW$
Questo significa che preso $lambda=0$ allora $0*w=0_V inW$
Ovvero che se $W$ è un sottospazio, allora contiene il vettore nullo di $V$.
Quindi hai una condizione necessaria per i sottospazi.
Il primo è quello che se $V$ è uno spazio vettoriale allora $(V;+)$ è un gruppo abeliano.
Un sottospazio $W$ sarà anche un sottogruppo di $(V;+)$ è per definizione di sottogruppo l’elemento neutro del gruppo deve essere contenuto in esso e se $W$ contiene un elemento deve contenere anche il suo inverso.
Il secondo è quello che se $V$ è uno spazio e $W$ è un sottospazio, allora è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Dunque vale che $foralllambda inKforallw inW, lambda*w inW$
Questo significa che preso $lambda=0$ allora $0*w=0_V inW$
Ovvero che se $W$ è un sottospazio, allora contiene il vettore nullo di $V$.
Quindi hai una condizione necessaria per i sottospazi.
"anto_zoolander":
se $V$ è uno spazio e $W$ è un sottospazio, allora è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Dunque vale che $foralllambda inKforallw inW, lambda*w inW$
Questo significa che preso $lambda=0$ allora $0*w=0_V inW$
No, tutto ciò che puoi dire è che $0*w=0_W inW$. Come fai a essere sicuro che $0_V=0_W$?
Beh se per assurdo $0_w ne 0_v$ allora poiché appartengono entrambi a $V$ per l’unicitá del vettore nullo devono coincidere.
Di fatto avremmo che $w+0_w=w+0_v=w, forallw inW$
Di fatto avremmo che $w+0_w=w+0_v=w, forallw inW$
"anto_zoolander":
Beh se per assurdo $0_w ne 0_v$ allora poiché appartengono entrambi a $V$ per l’unicitá del vettore nullo devono coincidere.
Di fatto avremmo che $w+0_w=w+0_v=w, forallw inW$
Sai che $0_W$ è un elemento neutro in $W$; come fai a dire che $0_W + v = v$ anche per quei \(v\in V\setminus W\)?
Scusa stavo guidando e l’ho scritto al semaforo 
Sappiamo che $W$ è un sottospazio, quindi è a sua volta spazio.
Sia $0_W$ il vettore nullo di $W$ è sappiamo che $0_V inW$
Ovviamente il $+$ definito su $W$ sarebbe $+_(WtimesW)$ dove sappiamo che;
$+_(WtimesW):=+’ = +, forall w in W$
Pertanto $w+’ 0_w=w+0_w, forallw in W$
Dall’altro lato abbiamo che $w+’ 0_v=w,forall w in W$
Da qui si conclude facilmente.
Secondo me la questione è anche più semplice di quanto non sembri.
Se $0_v$ è l’elemento neutro di uno spazio, necessariamente deve esserlo di ogni suo sottospazio, visto che l’operazione è definita per restrizione e opera sempre su elementi dello spazio, anche se in minor numero.
Poi il fatto che $W$ sia un sottospazio, implica che il vettore nullo sia unico.
Secondo me il punto centrale è quello che l’operazione su un sottospazio non è altro che la restrizione dell’operazione su tutto lo spazio.
Sappiamo che $W$ è un sottospazio, quindi è a sua volta spazio.
Sia $0_W$ il vettore nullo di $W$ è sappiamo che $0_V inW$
Ovviamente il $+$ definito su $W$ sarebbe $+_(WtimesW)$ dove sappiamo che;
$+_(WtimesW):=+’ = +, forall w in W$
Pertanto $w+’ 0_w=w+0_w, forallw in W$
Dall’altro lato abbiamo che $w+’ 0_v=w,forall w in W$
Da qui si conclude facilmente.
Secondo me la questione è anche più semplice di quanto non sembri.
Se $0_v$ è l’elemento neutro di uno spazio, necessariamente deve esserlo di ogni suo sottospazio, visto che l’operazione è definita per restrizione e opera sempre su elementi dello spazio, anche se in minor numero.
Poi il fatto che $W$ sia un sottospazio, implica che il vettore nullo sia unico.
Secondo me il punto centrale è quello che l’operazione su un sottospazio non è altro che la restrizione dell’operazione su tutto lo spazio.
Grazie ho capito ora.
Caspita però compliementi per la padronanza di concetti, credo non arriverò mai anche a fine del corso a trovare così rapidamente le risposte alledomande. Mi rendo conto all'università (sono matricola e ho iniziato da sì e no 3 settimane) non ci sia tempo materiale per approfondire molto i concetti. Posso chiedervi anche una dritta che esula dalla domanda iniziale: ma come avete fatto ad approfondire così tanto questa materia davvero entusiasmante con ritmi così serrati!?
Buon pomeriggio
Caspita però compliementi per la padronanza di concetti, credo non arriverò mai anche a fine del corso a trovare così rapidamente le risposte alledomande. Mi rendo conto all'università (sono matricola e ho iniziato da sì e no 3 settimane) non ci sia tempo materiale per approfondire molto i concetti. Posso chiedervi anche una dritta che esula dalla domanda iniziale: ma come avete fatto ad approfondire così tanto questa materia davvero entusiasmante con ritmi così serrati!?
Buon pomeriggio
sappiamo che $0_V inW$
Questo e' esattamente quel che ti ho chiesto di dimostrare; ma non puoi, perche' in generale e' falso. O meglio, e' vero per gli spazi vettoriali, ma non c'e' ragione di aspettarsi sia vero per le altre strutture algebriche.
Il motivo per cui e' vero per gli spazi vettoriali: rompi \(v=w+w^\perp\) nella sua proiezione su $W$ e nella sua componente che appartiene a \(W^\perp \cong (V/W)^\lor\). Allora \(0_W + v = 0_W + (w + w^\perp) = (0_W + w) + w^\perp = w + w^\perp = v\). Chiaramente allo stesso modo si dimostra che $v+0_W=v$. []
Il motivo per cui e' falso per altri tipi di struttura: sia $R$ un anello (commutativo e unitario), e consideriamo l'anello $M$ delle matrici $2\times 2$ a coefficienti in $R$. Consideriamo il sottoinsieme di $M$ fatto da
\[
S = \left\{ \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid r\in R \right\}
\] E' ovvio che questo sottoinsieme e' un anello isomorfo a $R$, e tuttavia, in quanto sottoinsieme di $M$, non e' un sottoanello, perche' $1_S \ne 1_M$. In effetti la struttura di anello e' irrilevante; rispetto alla moltiplicazione di matrici $M$ e' un monoide, cosi' come $S$, e tuttavia, sebbene $S\subset M$, non e' vero che $S$ e' una sottostruttura di $M$.
Incidentalmente, questa e' la ragione per cui i morfismi "giusti" nella categoria degli anelli unitari sono quelli che rispettano l'elemento neutro moltiplicativo: questa proprieta' di preservazione va chiesta perche' non segue come corollario dal fatto che $f$ e' un omomorfismo di gruppi abeliani $(R,+)\to (S,+)$ e di semigruppi \((R, \cdot) \to (S, \cdot)\).
Come si risolve il problema: con la teoria dei modelli. Nella definizione di sottostruttura si chiede che tutti i simboli di funzione e di relazione della segnatura che definisce la struttura si restringano al sottoinsieme in esame.
Ma infatti ero nelle ipotesi che $V$ fosse uno spazio vettoriale e che $W$ fosse un sottospazio, usando la chiusura rispetto al prodotto per scalare. Non avevo in mente altre strutture 
@killing
@killing
Sto dicendo che hai iniziato la dimostrazione con "sappiamo che \(0_V\in W\)". Non lo sai, e' esattamente quel che devi dimostrare.
Ah ok
Mi riferivo a quanto avessi scritto io nel mio primo post, se non erro.
Mi riferivo a quanto avessi scritto io nel mio primo post, se non erro.
come avete fatto ad approfondire così tanto questa materia davvero entusiasmante con ritmi così serrati!?
Facendosi domande come quella che hai fatto tu e che ha generato questo scompiglio anche tra gente piu' esperta, si imparano sempre un sacco di cose nuove.
Per esempio, oggi abbiamo imparato che, sebbene nella definizione di sottostruttura vada chiesto esplicitamente che l'elemento neutro faccia parte del sottoinsieme chiuso rispetto alle altre operazioni, vi sono situazioni idilliache per cui questa richiesta e' ridondante, e il fatto che l'elemento neutro appartenga al sottoinsieme e' gratis.
Questo pero' non deve diventare un pretesto per essere lassisti: vedrai molta algebra nella tua vita, che tu lo voglia o no; e diventera' sempre piu' essenziale saper ragionare nel modo che hai visto: sebbene qualcosa sia vero nel particolare, e' spesso una questione molto sottile determinare se quello stesso qualcosa resti vero nel generale.
"killing_buddha":come avete fatto ad approfondire così tanto questa materia davvero entusiasmante con ritmi così serrati!?
Facendosi domande come quella che hai fatto tu e che ha generato questo scompiglio anche tra gente piu' esperta, si imparano sempre un sacco di cose nuove.
Per esempio, oggi abbiamo imparato che, sebbene nella definizione di sottostruttura vada chiesto esplicitamente che l'elemento neutro faccia parte del sottoinsieme chiuso rispetto alle altre operazioni, vi sono situazioni idilliache per cui questa richiesta e' ridondante, e il fatto che l'elemento neutro appartenga al sottoinsieme e' gratis.
Questo pero' non deve diventare un pretesto per essere lassisti: vedrai molta algebra nella tua vita, che tu lo voglia o no; e diventera' sempre piu' essenziale saper ragionare nel modo che hai visto: sebbene qualcosa sia vero nel particolare, e' spesso una questione molto sottile determinare se quello stesso qualcosa resti vero nel generale.
Grazie
Spero venga col tempo perché ad esempio non mi è stato definito bene il concetto di monoide ancora (me lo sono andato a guardare adesso) non so se a fisica tratterò ancora questi temi o se il corso sia fatto in modo poco approfondito.
Il mio problema è che spesso mi perdo in molte domande (ne ho troppe) e noto che si corre molto e non posso perdermi a pormi le domande che vorrei -pena il rimanere fuori tracciato- è difficile, si ha poco tempo! E' proprio il bianconiglio a spaventarmi..
come avete fatto ad approfondire così tanto questa materia davvero entusiasmante con ritmi così serrati!?
Ci vuole tempo, non ti preoccupare. Questi signori che ti hanno risposto così bene sono pesi massimi del forum, non è da ieri che studiano queste cose. Un esame è solo una tappa, non è che il giorno dopo dell'esame uno smette di imparare. È vero il contrario.
Quanto al bianconiglio: https://math.stackexchange.com/q/617625/8157
[IMHO]
In ogni caso, non ti mettere troppa ansia ed esplora la matematica. Alla fine, si vede la differenza tra quelli che hanno studiato con passione seguendo la loro curiosità e quelli che hanno preparato l'esame riducendo la loro preparazione allo stretto necessario. Pazienza se prendi un voto in meno o se vai un anno fuori corso.
[/IMHO]
Molto interessante!
Buonasera a voi utenti,
Cercando risposta a un dubbio ho trovato questa discussione che cade a fagiuolo poiché ho un dubbio simile.
In un esercizio si considerava un sottospazio (o meglio, era da verificare lo fosse) dato da {A appartenenti a R di ordine n|tr(A)=0} intendendo con tr(A) la traccia di A.
Prendendo questo sottoinsieme di un Rn spazio vettoriale ho verificato con la chiusura rispetto alle operazioni solite il fatto che sia sottospazio. Però altresì noto che mi trovo per assurdo con più nulli, ovvero "tutte le matrici con 0 sulla diagonale principale sono un elemento nullo per questo sottospazio" Ma infrango oltre l'unicità del nullo il fatto che il nullo del sottoinsieme delle tracce con questa proprietà NON abbiano il nullo uguale a quello dello spazio originario Rn che è la matrice zero. Che era quello che chiedeva staultz appunto.
Cercando risposta a un dubbio ho trovato questa discussione che cade a fagiuolo poiché ho un dubbio simile.
In un esercizio si considerava un sottospazio (o meglio, era da verificare lo fosse) dato da {A appartenenti a R di ordine n|tr(A)=0} intendendo con tr(A) la traccia di A.
Prendendo questo sottoinsieme di un Rn spazio vettoriale ho verificato con la chiusura rispetto alle operazioni solite il fatto che sia sottospazio. Però altresì noto che mi trovo per assurdo con più nulli, ovvero "tutte le matrici con 0 sulla diagonale principale sono un elemento nullo per questo sottospazio" Ma infrango oltre l'unicità del nullo il fatto che il nullo del sottoinsieme delle tracce con questa proprietà NON abbiano il nullo uguale a quello dello spazio originario Rn che è la matrice zero. Che era quello che chiedeva staultz appunto.
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