Vettore e Base

[Mitchel]

Per quale valore di K il vettore (k,k,0) appartiene a W se B(w)=[(0,-1,-1),(0,1,0),(-1,0,-1)] ?

E' giusto k=0 ?

[Pierlu11]

Da come hai scritto il testo la risposta è "per ogni k" poiché se W è sottospazio di $ RR^3 $ e la sua base è costituita da tre vettori COINCIDE con $ RR^3 $ dunque ogni vettore di $ RR^3 $ gli appartiene.
Con B(w) intendi "base di W" vero?

[minomic]

Faccio una piccola precisazione che sicuramente è scontata per Pierlu11: tre vettori a tre componenti non sono sempre una base di $RR^3$ ma, per esserlo, devo essere linearmente indipendenti. In questo caso la cosa si verifica, poichè la matrice
\[
\left (
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1
\end{array}
\right )
\]ottenuta affiancando i tre vettori ha rango pari a $3$.

Invece i seguenti vettori non sono una base di $RR^3$:
\[
\left \{
\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ),
\left ( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ),
\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right )
\right \}
\]

PS. Anche io sono d'accordo con quanto detto da Pierlu11: per come è scritto il testo la risposta è \( \forall k \).