Verificare una base duale
Salve a tutti avrei bisogno di un aiutino su un esercizio.
la consegna è:
dato lo spazio dei polinomi sul campo dei reali e la sua base $B={1,x,x^2,x^3}$ verificare che la base $B^(ast)={a_0,a_1,a_2,a_3}$ sia la sua base duale ponendo $a_k(P(x))=(P^k(0))/(k!)$.
io ho provato a vedere se applicando la definizione di base duale(cioè che si ha una base duale se $a_i(e_j)=1 <==> i=j $)
ma non funziona.. la base duale dovrebbe essere quella dato che l'esercizio procede dando per scontato il risultato positivo della verifica.
grazie in anticipo a tutti
Se mi sono espresso male o non si capisce la domanda o altro, fatemelo sapere che pubblico una foto dell’esercizio!
la consegna è:
dato lo spazio dei polinomi sul campo dei reali e la sua base $B={1,x,x^2,x^3}$ verificare che la base $B^(ast)={a_0,a_1,a_2,a_3}$ sia la sua base duale ponendo $a_k(P(x))=(P^k(0))/(k!)$.
io ho provato a vedere se applicando la definizione di base duale(cioè che si ha una base duale se $a_i(e_j)=1 <==> i=j $)
ma non funziona.. la base duale dovrebbe essere quella dato che l'esercizio procede dando per scontato il risultato positivo della verifica.
grazie in anticipo a tutti
Se mi sono espresso male o non si capisce la domanda o altro, fatemelo sapere che pubblico una foto dell’esercizio!
Risposte
Metti i conti che hai fatto ma a occhio mi pare che tu abbia ragione. Con \( P^k \) intendi l'elevazione alla potenza \( k \) - esima o la derivata \( k \) -esima?
Eh sinceramente non saprei... E' un'esercizio del corso Geometria 1 e in analisi non abbiamo ancora affrontato derivate quindi io davo anche per scontato si trattasse di una potenza.
Riporto il testo dell'esercizio:
Si consideri lo spazio, V = R[X]≤3 dei polinomi, a coefficienti reali, di grado minore o uguale a 3, con la base (canonica) B = {1, X, X2, X3}.
Sia B* ={δ0,δ1,δ2,δ3} ⊂ V*, ove δk(P(X))= P^k(0)/k! per ogni P(X) in V e k=0,...,3. Si verifichi che B* e' la base duale di B in V *. Scrivere gli elementi della base V*, duale di V, come combinazione lineare degli elementi di B*.
Comunque ho provato a fare la verifica e i problemi si verificano già con δ0, infatti giustamente con il primo elemento della base il risultato è uno ma già col secondo avremo uno 0^0/0 nel caso fosse una potenza e 1 nel caso fosse una derivata. in entrambi i casi sarebbe comunque sbagliato.
L'unica possibilità è che io abbia mal interpretato il testo, per questo ve l'ho riportato come nell'originale.
grazie ancora
Riporto il testo dell'esercizio:
Si consideri lo spazio, V = R[X]≤3 dei polinomi, a coefficienti reali, di grado minore o uguale a 3, con la base (canonica) B = {1, X, X2, X3}.
Sia B* ={δ0,δ1,δ2,δ3} ⊂ V*, ove δk(P(X))= P^k(0)/k! per ogni P(X) in V e k=0,...,3. Si verifichi che B* e' la base duale di B in V *. Scrivere gli elementi della base V*, duale di V, come combinazione lineare degli elementi di B*.
Comunque ho provato a fare la verifica e i problemi si verificano già con δ0, infatti giustamente con il primo elemento della base il risultato è uno ma già col secondo avremo uno 0^0/0 nel caso fosse una potenza e 1 nel caso fosse una derivata. in entrambi i casi sarebbe comunque sbagliato.
L'unica possibilità è che io abbia mal interpretato il testo, per questo ve l'ho riportato come nell'originale.
grazie ancora
La matrice associata alla base canonica B è la matrice identità...e lo è anche il prodotto scalare standard (la forma associata bilineare simmetrica). L'inversa della matrice identità è se stessa, quindi non deve stupire che $B^(**)=B^T=B$
Quindi $ $ darà solo zeri e 1 quando $i=j$.
Vediamo se resta così dopo aver associato al prodotto scalare la forma data.
Il generico $P(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ rispetto alla base canonica, ovvero $*B$ espresso rispetto alla base duale $ delta_k=(P^k(x))/(k!) $ resta se stesso ovvero $v=*B^(**)=*B$
Infatti:
$(P(0))/(0!)=a=delta_0$
$(P^{\prime}(0))/(1!)=b=delta_1$
$(P^('')(0))/(2!)=c=delta_2$
$(P^(''')(0))/(3!)=d=delta_3$
Quindi il generico vettore $ v=sum_(i = 1)^(4)v^ie_i=sum_(i = 1)^(4)v_ie_i=v $
Quindi $
Vediamo se resta così dopo aver associato al prodotto scalare la forma data.
Il generico $P(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ rispetto alla base canonica, ovvero $
Infatti:
$(P(0))/(0!)=a=delta_0$
$(P^{\prime}(0))/(1!)=b=delta_1$
$(P^('')(0))/(2!)=c=delta_2$
$(P^(''')(0))/(3!)=d=delta_3$
Quindi il generico vettore $ v=sum_(i = 1)^(4)v^ie_i=sum_(i = 1)^(4)v_ie_i=v $
"maxostuzzi99":
Eh sinceramente non saprei... E' un'esercizio del corso Geometria 1 e in analisi non abbiamo ancora affrontato derivate quindi io davo anche per scontato si trattasse di una potenza.
Sono derivate. In pratica è lo sviluppo di Taylor di un polinomio attorno allo zero...quindi resta se stesso.
Ora ho capito, grazie mille!
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