Verificare se un sottoinsieme è un sottospazio - Procedimento
Ciao!! Vorrei sapere se l'impostazione di questo esercizio è corretta.
Sia A $ sube $ R^2. A= $ \{( ( a+2b-1 ),(2a-b-1 ) ) \} $.Verificare se A è un sottospazio vettoriale di R^2.
Svolgimento:
A sottospazio $ hArr $ $ ( ( 0 ),( 0 ) ) $ $ in $ A e A chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
1) Verifico che esistono a,b tali che il vettore nullo appartenga ad A (a=b=1)
2) Verifico se A è chiuso rispetto alla somma:
v,w $ in $ A t.c. v= $ ( ( a+2b-1 ),(2a-b-1 ) ) $ e w= $ ( ( c+2d-1 ),(2c-d-1 ) ) $
v+w= $ in ( ( a+c+2b+2d-6 ),( 2a+2c-b-d-2 ) ) $
mi chiedo se v+w $ in $ A:
v+w $ in $ A $ hArr $ v+w può essere scritto come una combinazione lineare dei vettori $ alpha ( (1), (2) ) +beta ( (2), (-1) ) +( (-3), (-1) ) $
Risolvo il sistema e trovo che il sistema è risolubile: esistono $ alpha ,beta $ t.c. il vettore v+w $ in $ A. Posso concludere quindi che è chiuso rispetto alla somma.
2) Verifico la chiusura rispetto al prodotto per uno scalare:
Sia k scalare: kv $ in $ A $ hArr $ esiste una combinazione lineare dei vettori $ alpha ( (1), (2) ) +beta ( (2), (-1) ) +( (-3), (-1) ) $ = kv (con v vettore generico dell'insieme)
Verifico che il sistema è risolubile per ogni K diverso da zero. Il caso K=0 equivale alla verifica se il vettore nullo appartiene ad A. Concludo che il sistema è risolubile per ogni k e quindi che A è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.
Spero di esser stata chiara, ho evitato di mettere i conti perchè ciò che mi interessa è capire se il procedimento è giusto. (la mia professoressa ha dimostrato che è uno spazio vettoriale in quanto coincide con R^2, volevo provare a mostrarlo anche in questo modo).
Grazie in anticipo!!
Sara
Sia A $ sube $ R^2. A= $ \{( ( a+2b-1 ),(2a-b-1 ) ) \} $.Verificare se A è un sottospazio vettoriale di R^2.
Svolgimento:
A sottospazio $ hArr $ $ ( ( 0 ),( 0 ) ) $ $ in $ A e A chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.
1) Verifico che esistono a,b tali che il vettore nullo appartenga ad A (a=b=1)
2) Verifico se A è chiuso rispetto alla somma:
v,w $ in $ A t.c. v= $ ( ( a+2b-1 ),(2a-b-1 ) ) $ e w= $ ( ( c+2d-1 ),(2c-d-1 ) ) $
v+w= $ in ( ( a+c+2b+2d-6 ),( 2a+2c-b-d-2 ) ) $
mi chiedo se v+w $ in $ A:
v+w $ in $ A $ hArr $ v+w può essere scritto come una combinazione lineare dei vettori $ alpha ( (1), (2) ) +beta ( (2), (-1) ) +( (-3), (-1) ) $
Risolvo il sistema e trovo che il sistema è risolubile: esistono $ alpha ,beta $ t.c. il vettore v+w $ in $ A. Posso concludere quindi che è chiuso rispetto alla somma.
2) Verifico la chiusura rispetto al prodotto per uno scalare:
Sia k scalare: kv $ in $ A $ hArr $ esiste una combinazione lineare dei vettori $ alpha ( (1), (2) ) +beta ( (2), (-1) ) +( (-3), (-1) ) $ = kv (con v vettore generico dell'insieme)
Verifico che il sistema è risolubile per ogni K diverso da zero. Il caso K=0 equivale alla verifica se il vettore nullo appartiene ad A. Concludo che il sistema è risolubile per ogni k e quindi che A è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.
Spero di esser stata chiara, ho evitato di mettere i conti perchè ciò che mi interessa è capire se il procedimento è giusto. (la mia professoressa ha dimostrato che è uno spazio vettoriale in quanto coincide con R^2, volevo provare a mostrarlo anche in questo modo).
Grazie in anticipo!!
Sara
Risposte
Per dimostrare che $A=RR^2$ si ottiene provando che $AsubeRR^2$ e $RR^2subeA$.
Ora che $AsubeRR^2$ è evidente perchè per ogni $a$ e $b$ si ottiene una coppia e quindi un elemento di $RR^2$.
La questione è se davvero si ottiene una qualsiasi coppia di numeri reali.
Allora sia $(x,y)inRR^2$, bisogna controllare se esistono $a$ e $b$ con $a+2b-1=x$ e $2a-b-1=y$.
Bisogna risolvere il sistema lineare:
${(a+2b=x+1),(2a-b=y+1):}$ e un tale sistema lineare ammette un'unica soluzione, dunque $RR^2subeA$ e quindi $A$ è un sottospazio vettoriale in quanto coincide con $RR^2$.
Ora che $AsubeRR^2$ è evidente perchè per ogni $a$ e $b$ si ottiene una coppia e quindi un elemento di $RR^2$.
La questione è se davvero si ottiene una qualsiasi coppia di numeri reali.
Allora sia $(x,y)inRR^2$, bisogna controllare se esistono $a$ e $b$ con $a+2b-1=x$ e $2a-b-1=y$.
Bisogna risolvere il sistema lineare:
${(a+2b=x+1),(2a-b=y+1):}$ e un tale sistema lineare ammette un'unica soluzione, dunque $RR^2subeA$ e quindi $A$ è un sottospazio vettoriale in quanto coincide con $RR^2$.
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