Verificare se è sot.spazio vettoriale e combinazione lineare

[gaten]

Per verificare se il seguente è un sottospazio vettoriale:

$ X0={(a,b) in R^2 : a-3b=0 } sube R^2 $ ho iniziato a fare così:

Ho preso due vettori generici: v, w e ho controllato se la somma fra i vettori e ancora contenuta in X0 quindi:

v(x1, x2) + w(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) qui mi sono bloccato qualcuno può dirmi come completare?

Inoltre ho provato anche a svolgere quest'altro esercizio:

Dati i vettori: v1=(1,2,-2), v2=(2,1,-3), v3=(1,-1,-1), il vettore w=(0,3,1) è combinazione lineare di v1, v2 e v3? Io ho svolto così:

$ w=h1v1+h2v2+h3v3 $

$ ( ( h1 +2h2 +h3 = 0 ),( 2h1 +h2 -h3 = 3 ),( -2h1 -3h2 -h3 = 1 ) ) $

Al sistema, ho associato la sua matrice , l'ho ridotta a gradini ed ho ottenuto il seguente sistema ridotto:

$ ( ( h1 +2h2 +h3 = 0 ),( -3h2 -3h3 = 3 ) ) $

Adesso come continuo?

Se volessi dire in quanto modi il vettore nullo (0, 0, 0) è combinazione lineare di v1, v2 e v3?

Grazie anticipatamente,
gaten

[miuemia]

"gaten":

Ho preso due vettori generici: v, w e ho controllato se la somma fra i vettori e ancora contenuta in X0 quindi:

v(x1, x2) + w(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) qui mi sono bloccato qualcuno può dirmi come completare?

gaten

non devi prendere due vettori generici ma due vettori che stanno in $X_0$ quindi siano $v=(v_1,v_2)$ e $w=(w_1,w_2)$ due vettori che stanno in $X_0$ ti devi chiedere se $v+w=(v_1 +w_1, v_2 +w_2)\in X_0$ cioè vale a dire se

$v_1 +w_1 -3(v_2 +w_2)=0$

sviluppando ottieni che $v_1 + w_1 -3v_2 -3w_2=v_1-3v_2 + w_1-3w_2=0$ poichè $v$ e $w$ stanno in $X_{0}$.

[gaten]

si ma in questo caso, possiamo dire che è sottospazio vettoriale?

Riguardo a questo:

Inoltre ho provato anche a svolgere quest'altro esercizio:

Dati i vettori: v1=(1,2,-2), v2=(2,1,-3), v3=(1,-1,-1), il vettore w=(0,3,1) è combinazione lineare di v1, v2 e v3?

[_prime_number]

Devi risolvere il sistema lineare [tex]av_1 + bv_2 + cv_3 =w[/tex] nelle incognite [tex]a,b,c[/tex].

Paola

[gaten]

Si io ho risolto come hai detto tu, però sono arrivato ad un certo punto e mi sono bloccato, puoi controllare il primo post?

Inoltre nel secondo moste "miuemia", mi ha scritto come vedere se X0 è spazio vettoriale, ma non ho capito. Puoi dirmi se X0 è sottospazio vettoriale?
Grazie.