Verificare che è un autovettore
Altro problema che non capisco...
ho la matrice A:
$((5,-13,7),(3,-8,4),(3,-7,3))$
si verifichi che $((1),(1),(1)) è un autovettore di A
come si fa?
mi aiutate per favore?
[mod="franced"]Ho riscritto in modo corretto la matrice e il vettore (le parentesi..)[/mod]
ho la matrice A:
$((5,-13,7),(3,-8,4),(3,-7,3))$
si verifichi che $((1),(1),(1)) è un autovettore di A
come si fa?
mi aiutate per favore?
[mod="franced"]Ho riscritto in modo corretto la matrice e il vettore (le parentesi..)[/mod]
Risposte
Ciao bandido, sai cos'è un autovettore? Rifletti un po' sulla definizione e vedrai che è facilissimo! 
ciao cirasa
allora, un autovettore corrispondente a un autovalore $\lambda$ è la colonna di X tale che AX=$\lambda$X
quindi mi trovo prima gli autovalori? non mi pare una mossa saggia....
allora, un autovettore corrispondente a un autovalore $\lambda$ è la colonna di X tale che AX=$\lambda$X
quindi mi trovo prima gli autovalori? non mi pare una mossa saggia....
hai la matrice, hai il candidato autovettore vedi, se esiste un $lambda$ tale che la tua equazione sia soddisfatta hai provato che è autovettore!
"bandido":
$((5,-13,7),(3,-8,4),(3,-7,3))$
si verifichi che $((1),(1),(1))$ è un autovettore di A
Basta guardare la definizione di autovettore.
Nel caso specifico ciò è equivalente a controllare se la
somma degli elementi sulle righe è costante.
definizione:
dato un operatore lineare T:V→V, un vettore non nullo v di V viene detto autovettore per T se esiste uno scalare λ tale che:
T(v)=λv
nel caso specifico, se faccio la somma di ciascuna riga mi viene sempre -1 (quindi il vettore del problema sembrerebbe essere veramente un autovettore)
ciò che non capisco è... perchè?
dato un operatore lineare T:V→V, un vettore non nullo v di V viene detto autovettore per T se esiste uno scalare λ tale che:
T(v)=λv
nel caso specifico, se faccio la somma di ciascuna riga mi viene sempre -1 (quindi il vettore del problema sembrerebbe essere veramente un autovettore)
ciò che non capisco è... perchè?
perchè una matrice è associata ad un'applicazione lineare che la rappresenta. Il tuo candidato autovettore è $(1,1,1)$ quindi nel caso in cui fosse questo sarebbe del tipo $(lambda,lambda,lambda)$ ovvero tutte proporzionali ad $(1,1,1)$. Questo equivale a chiedere che la somma delle righe (che altro che non sono che le componenti del nostro vettore) siano tutte uguali.
per la miseria... mi ci son messo li a ragionarci un'attimo stamattina a mente fresca e.... avevi ragione mistake, mi ero proprio bloccato su una vaccata
grazie a tutti!
grazie a tutti!
Faccio osservare che se la somma degli elementi sulle colonne è costante
la trasposta della matrice ha come autovettore [tex](1,1,1)^T[/tex] e come autovalore
la somma comune.
la trasposta della matrice ha come autovettore [tex](1,1,1)^T[/tex] e come autovalore
la somma comune.
appunto... non è un autovettore di A, ma della sua trasposta...
Se prendi
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 4 & -2 \\
2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{array} \right)[/tex]
hai che [tex](1,1,1)^T[/tex] è autovettore di [tex]A[/tex] relativo a [tex]\lambda = 3[/tex].
Se invece consideri la matrice
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 4 & 1 \\
2 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 2
\end{array} \right)[/tex]
hai che [tex](1,1,1)^T[/tex] è autovettore di [tex]A^T[/tex] relativo a [tex]\lambda = 5[/tex].
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 4 & -2 \\
2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{array} \right)[/tex]
hai che [tex](1,1,1)^T[/tex] è autovettore di [tex]A[/tex] relativo a [tex]\lambda = 3[/tex].
Se invece consideri la matrice
[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 4 & 1 \\
2 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 2
\end{array} \right)[/tex]
hai che [tex](1,1,1)^T[/tex] è autovettore di [tex]A^T[/tex] relativo a [tex]\lambda = 5[/tex].
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