Verifica diagonalizzazione
Salve. Ho il seguente endomorfismo di $R^4$:
$f(x,y,z,t)=(z,x+z-y,-z,-t)$ e la base $B=(1,1,0,0),(0,-1,0,1),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)$ .La rappresentazione di $f$ rispetto $B$ e la base canonica è $A=((0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,-1,0,-1))$ mentre rispetto a entrambe le basi canoniche di $R^4$ è $A'=((0,0,1,0),(1,-1,1,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))$ Per verificare se $f$ è diagonalizzabile in $R$ controllo che tutti gli autovalori appartengano a $R$ e che la dimensione algebrica di ciascun autovalore sia uguale alla dimensione geometrica dell'auto-spazio associato.
Quindi, per le operazione che ho appena elencato è indifferente controllare la diagonalizzazione di $f$ utilizzando la sua rappresentazione $A$ oppure $A'$ tenendo conto che nel caso di $A$ per calcolare l' autospazio di un generico vettore impongo che $AXC_VB=0$ mentre nel caso di $A'$ le componenti coincidono con il generico vettore $(x,y,z,t)$ ?
$f(x,y,z,t)=(z,x+z-y,-z,-t)$ e la base $B=(1,1,0,0),(0,-1,0,1),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)$ .La rappresentazione di $f$ rispetto $B$ e la base canonica è $A=((0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,-1,0,-1))$ mentre rispetto a entrambe le basi canoniche di $R^4$ è $A'=((0,0,1,0),(1,-1,1,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))$ Per verificare se $f$ è diagonalizzabile in $R$ controllo che tutti gli autovalori appartengano a $R$ e che la dimensione algebrica di ciascun autovalore sia uguale alla dimensione geometrica dell'auto-spazio associato.
Quindi, per le operazione che ho appena elencato è indifferente controllare la diagonalizzazione di $f$ utilizzando la sua rappresentazione $A$ oppure $A'$ tenendo conto che nel caso di $A$ per calcolare l' autospazio di un generico vettore impongo che $AXC_VB=0$ mentre nel caso di $A'$ le componenti coincidono con il generico vettore $(x,y,z,t)$ ?
Risposte
Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi anche gli stessi autovalori. Le due matrici $ A,A' $ sono simili cioè esiste P invertibile tale che $ A'=P^{-1}AP $ e se $ A' $ risulta diagonalizzabile cioè esiste $ N $ invertibile tale che $ N^{-1}A'N = D $ sia diagonale, allora $ D= N^{-1}A'N= N^{-1}P^{-1}APN= (PN)^{-1}A(PN) $ ed anche $ A $ risulta diagonalizzabile poiche $ PN $ è invertibile in quanto prodotto di matrici invertibili.
...quindi dal momento che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico è indifferente studiare la diagonalizzabilità sull'una o sull'altra! Grazie mille! 
"Slashino":
...quindi dal momento che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico è indifferente studiare la diagonalizzabilità sull'una o sull'altra! Grazie mille!
Attenzione, anche se è vero che $A$ simile a $B$ implica $A$ diagonalizzabile SSE $B$ diagonalizzabile, questo non è conseguenza del solo fatto che $A$ e $B$ hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Per esempio $A=((1,1),(0,1))$ e $B=((1,0),(0,1))$ hanno lo stesso polinomio caratteristico ma $A$ non è diagonalizzabile
(naturalmente queste $A$ e $B$ non sono simili).
Grazie per la precisazione!
"Slashino":
Salve. Ho il seguente endomorfismo di $R^4$:
$f(x,y,z,t)=(z,x+z-y,-z,-t)$ e la base $B=(1,1,0,0),(0,-1,0,1),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)$ .La rappresentazione di $f$ rispetto $B$ e la base canonica è $A=((0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,-1,0,-1))$ mentre rispetto a entrambe le basi canoniche di $R^4$ è $A'=((0,0,1,0),(1,-1,1,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))$ Per verificare se $f$ è diagonalizzabile in $R$ controllo....
C'è una cosa che non mi torna qui - forse e colpa mia che non ho più tanta confidenza con la terminologia. Sperando di non prendere fischi per fiaschi ti espongo i miei dubbi.
Se capisco la definizione di $f$ quest'ultima opera sui punti di $RR^4$, che sono "quartetti" del tipo $((x),(y),(z),(t))$ - scrivo
i vettori in colonna come mi è stato insegnato - e restituisce un altro punto di $RR^4$ secondo la regola $((x),(y),(z),(t))\to((z),(x-y+z),(-z),(-t))$.
Dato che $((x),(y),(z),(t))=x e_1+ y e_2+z e_3+t e_4$, essendo $e_i$ i vettori della base canonica, direi che è ovvio che la rappresentazione di $f$ rispetto alla base canonica - IN PARTENZA E IN ARRIVO - è data dalla matrice $A'$.
Venendo ad $A$ mi sembra, da ciò che scrivi, che questa rappresenti $f$ prendendo la base $B$ in partenza e la base canonica in arrivo. E' giusto?
Ora il problema è questo: il problema della diagonalizzazione di $f$ si traduce nel problema di diagonalizzazione della matrice corrispondente purché si fissi (ad arbitrio) la STESSA BASE IN PARTENZA E IN ARRIVO. Solo così le matrici corrispondenti a basi diverse sono simili tra loro. Se invece la base in partenza e quella in arrivo sono diverse può succedere qualunque cosa. Per esempio prendi l'endomorfismo $g:RR^2\to RR^2$ associato a $((x),(y))\to((x+y),(y))$, allora prendendo la base canonica in partenza e in arrivo trovi la matrice $((1,1),(0,1))$ - nota che non è diagonalizzabile (e quindi $g$ non è diagonalizzabile). Se invece prendi in partenza la base canonica e in arrivo i vettori $v_1=((1),(0))$ e $v_2=((1),(1))$, allora la matrice diventa $((1,0),(0,1))$ - diagonale??. Di fatto, nel caso di un isomorfismo, scegliendo opportunamente le basi si può sempre trovare la matrice identica!
Sperando di non aver capito male il problema.
Hai capito a pieno il problema! In definitiva, io posso studiare la diagonalizzazione di un endomorfismo indifferentemente rispetto a qualsiasi base purchè questa sia la base sia di partenza che di arrivo(quindi tutte le matrici che andrei a studiare sarebbero simili). Qualora le due basi(di partenza e di arrivo) dovessero differire, sono costretto a studiare caso per caso...giusto?
"Slashino":
Hai capito a pieno il problema! In definitiva, io posso studiare la diagonalizzazione di un endomorfismo indifferentemente rispetto a qualsiasi base purchè questa sia la base sia di partenza che di arrivo(quindi tutte le matrici che andrei a studiare sarebbero simili). Qualora le due basi(di partenza e di arrivo) dovessero differire, sono costretto a studiare caso per caso...giusto?
Beh - in ogni caso devi studiare (quel caso
). Direi che1) se ti viene dato l'endomorfismo allora ti scrivi la matrice rispetto alla base canonica e fai i conti su quella. In particolare mi sembra che questa fossa la tua situazione (non mi spiego però perché tu avessi anche la base $B$).
2) se ti venissero data una matrice $A$, una base $B_1$ in partenza e una $B_2$ in arrivo io farei un cambio di base, per esempio in arrivo, trovando una $A'$ che esprime lo stesso endomorfismo con $B_1$ sia in partenza che in arrivo (se non sbaglio $A'=NA$ dove $N$ è la matrice che trasforma le coordinate rispetto a $B_2$ in coordinate rispetto a $B_1$ - trovare $N$ mi pare implichi invertire una matrice ...) e poi lavorerei come sopra.
Tieni però presente che queste cose le ho studiate parecchio tempo fa e forse mi sono dimenticato qualche "trucco" standard.
Molto chiaro, grazie mille!
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