Varietà topologiche e varietà differenziabili
Vi espongo un ragionamento, che molto probabilmente contiene un errore ma non ne sono sicuro.
Dalle definizioni abbiamo che una varietà topologica è uno spazio topologico ricoperto di aperti (carte) omeomorfi con aperti di $RR^n$.
Una varietà topologica è una varietà differenziabile ($C^k$) se le funzioni di transizione da una carta all' altra sono $C^k$, perchè essendo da $RR^n$ a $RR^n$ posso parlare di differenziabilità.
Ora però se la richiesta di differenziabilità si limita alle funzioni di transizione, nei punti ricoperti da una carta sola potrebbero esserci punti spigolosi??
Per esempio, prendiamo come spazio una "L" in $RR^2$ (insomma, due segmenti uniti in un punto in modo spigoloso, e lo ricopro con 2 aperti in modo tale che lo spigolo sia soltanto in uno dei due.
In questo modo sicuramente è una varietà topologica, ma quando faccio la funzione di transizione è liscia anche lì, dunque è una varietà differenziabile?
Qualquadra non cosa, ma non capisco cosa...
Dalle definizioni abbiamo che una varietà topologica è uno spazio topologico ricoperto di aperti (carte) omeomorfi con aperti di $RR^n$.
Una varietà topologica è una varietà differenziabile ($C^k$) se le funzioni di transizione da una carta all' altra sono $C^k$, perchè essendo da $RR^n$ a $RR^n$ posso parlare di differenziabilità.
Ora però se la richiesta di differenziabilità si limita alle funzioni di transizione, nei punti ricoperti da una carta sola potrebbero esserci punti spigolosi??
Per esempio, prendiamo come spazio una "L" in $RR^2$ (insomma, due segmenti uniti in un punto in modo spigoloso, e lo ricopro con 2 aperti in modo tale che lo spigolo sia soltanto in uno dei due.
In questo modo sicuramente è una varietà topologica, ma quando faccio la funzione di transizione è liscia anche lì, dunque è una varietà differenziabile?
Qualquadra non cosa, ma non capisco cosa...
Risposte
Se hai uno spigolo, non hai una sola carta, ma ne hai due (almeno) che si "toccano" nello spigolo, e ovviamente la composizione delle funzioni di transizione dall'una all'altra non può essere $C^k$.
Scusa ma perchè devono essercene per forza due? in fondo quell oggetto è omeomorfo a un qualsiasi segmento di $RR$...
Adesso girando per gli appunti mi trovo davanti la seguente proposizione:
"Ogni omeomorfismo è un diffeomorfismo in dimensione <4"
Ma quindi l esempio che ho esposto prima è effettivamente una varietà differenziabile? ma è strano...
qualcuno potrebbe darmi delucidazioni?
"Ogni omeomorfismo è un diffeomorfismo in dimensione <4"
Ma quindi l esempio che ho esposto prima è effettivamente una varietà differenziabile? ma è strano...
qualcuno potrebbe darmi delucidazioni?
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