V postulato euclide e geometria analitica
Una curiosità tipicamente serale che il giorno dopo si rivela una cavolata:
la dimostrazione per via "sintetica" del V postulato non "esiste", infatti "esistono" le geometrie non euclidee; ma utilizzando la geometria analitica, posso verificare per via algebrica che "data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data"? No, ci deve essere un circolo vizioso da qualche parte... dove? Forse nella dimostrazione del fatto che due rette parallele hanno o stesso coefficiente angolare... ma lì mi sembra si usi il teorema di Talete... ). In quale "momento" la geometria analitica che facciamo a scuola viene assunta come euclidea?
Ultima cosa (che non c'entra, ma già che siamo in vena euclidea
):
1) spazio euclideo = spazio affine individuato da uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare definito positivo
2) geometria euclidea = geometria nella quale è supposto valido il V postulato
C'è un legame tra le due cose?
la dimostrazione per via "sintetica" del V postulato non "esiste", infatti "esistono" le geometrie non euclidee; ma utilizzando la geometria analitica, posso verificare per via algebrica che "data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data"? No, ci deve essere un circolo vizioso da qualche parte... dove? Forse nella dimostrazione del fatto che due rette parallele hanno o stesso coefficiente angolare... ma lì mi sembra si usi il teorema di Talete... ). In quale "momento" la geometria analitica che facciamo a scuola viene assunta come euclidea?
Ultima cosa (che non c'entra, ma già che siamo in vena euclidea
): 1) spazio euclideo = spazio affine individuato da uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare definito positivo
2) geometria euclidea = geometria nella quale è supposto valido il V postulato
C'è un legame tra le due cose?
Risposte
Questa è una bella domanda che mi sono posto anche io varie volte. Ora vado di fretta purtroppo ma una cosetta la voglio scrivere ugualmente: ricordo di avere letto che la geometria analitica basata sull'algebra lineare è "un modello" di geometria euclidea. Ossia, se si considerano i punti come elementi di uno spazio affine, le rette come le rette "algebriche" dello spazio affine, e gli angoli e le distanze nel senso prescritto dalla presenza di un prodotto scalare, si è ottenuta una realizzazione concreta dello spazio della geometria euclidea.
Per dare una idea, so che il problema analogo per la geometria iperbolica è rimasto aperto per molti anni, nel XIX secolo. Io non ne capisco granché ma provo ugualmente a spiegarmi. Non garantisco la correttezza di quanto sto per dire!
Lobatchevkij aveva scritto dei sistemi di assiomi alternativi al sistema euclideo, in cui le rette parallele si incontravano e stramberie del genere. (
) Uno di questi si chiamava "geometria iperbolica". Non era pero' chiaro se questi sistemi di assiomi descrivessero qualcosa di consistente o se fossero solo degli esercizi di logica astratta. Senonché a un certo punto è arrivato un italiano, Eugenio Beltrami, che ha presentato le equazioni di una superficie immersa in $R^3$ dalla forma simile a un imbuto liscio e molto lungo. Se si battezzano "rette" le geodetiche su questo imbuto (qualunque cosa la parola "geodetica" significhi), e si introduce un concetto di parallelismo nel modo più naturale possibile, allora l'imbuto diventa una realizzazione concreta del modello astratto di geometria iperbolica. Questa è stata una delle scoperte più importanti di Beltrami, che ha avuto un discreto successo nella sua vita: lo hanno persino fatto senatore.
Oggi credo che, più che studiare la geometria assiomatica, si preferisca studiare direttamente le realizzazioni concrete delle varie geometrie. C'è tutto un armamentario di matematica dedita a questo: geometria differenziale, geometria algebrica e sottorami vari.
Per dare una idea, so che il problema analogo per la geometria iperbolica è rimasto aperto per molti anni, nel XIX secolo. Io non ne capisco granché ma provo ugualmente a spiegarmi. Non garantisco la correttezza di quanto sto per dire!
Lobatchevkij aveva scritto dei sistemi di assiomi alternativi al sistema euclideo, in cui le rette parallele si incontravano e stramberie del genere. (
) Uno di questi si chiamava "geometria iperbolica". Non era pero' chiaro se questi sistemi di assiomi descrivessero qualcosa di consistente o se fossero solo degli esercizi di logica astratta. Senonché a un certo punto è arrivato un italiano, Eugenio Beltrami, che ha presentato le equazioni di una superficie immersa in $R^3$ dalla forma simile a un imbuto liscio e molto lungo. Se si battezzano "rette" le geodetiche su questo imbuto (qualunque cosa la parola "geodetica" significhi), e si introduce un concetto di parallelismo nel modo più naturale possibile, allora l'imbuto diventa una realizzazione concreta del modello astratto di geometria iperbolica. Questa è stata una delle scoperte più importanti di Beltrami, che ha avuto un discreto successo nella sua vita: lo hanno persino fatto senatore. Oggi credo che, più che studiare la geometria assiomatica, si preferisca studiare direttamente le realizzazioni concrete delle varie geometrie. C'è tutto un armamentario di matematica dedita a questo: geometria differenziale, geometria algebrica e sottorami vari.
"dissonance":
gli angoli e le distanze nel senso prescritto dalla presenza di un prodotto scalare
Ah, allora forse è qui si nasconde il V postulato come assunzione... è un bell'esercizio andarlo a scovare
"dissonance":
Oggi credo che, più che studiare la geometria assiomatica, si preferisca studiare direttamente le realizzazioni concrete delle varie geometrie. C'è tutto un armamentario di matematica dedita a questo: geometria differenziale, geometria algebrica e sottorami vari.
Quindi, se ho capito, le geometrie non euclidee non riscuotono più interesse perché diventano semplicemente casi particolari di teorie più generali?
"jitter":
Quindi, se ho capito, le geometrie non euclidee non riscuotono più interesse perché diventano semplicemente casi particolari di teorie più generali?
Che intendi dire con non riscuotono più interesse? Le geometrie iperboliche sono studiate più di quanto non lo siano mai state e anche per la varie proprietà geometriche della sfera.
Non sapevo: non le sentivo nominare per non-conoscenza mia.
"jitter":
[quote="dissonance"]gli angoli e le distanze nel senso prescritto dalla presenza di un prodotto scalare
Ah, allora forse è qui si nasconde il V postulato come assunzione... è un bell'esercizio andarlo a scovare
[/quote]Qual è il quinto postulato? Data una retta e un punto non contenuto in essa esiste esattamente una retta passante per il punto e parallela alla retta data? Se si i prodotti scalari non c'entrano nulla. Il piano affine verifica questo postulato, è solo questione di algebra, non di angoli e distanze. (Nota che quando passi al piano affine, che è un oggetto concreto e non è dato assiomaticamente, non hai più postulati ma proprietà da verificare. Devi *dimostrare* che esiste una sola retta parallela. Non lo puoi assumere per postulato. Questa è la differenza tra la geometria assiomatica e la geometria dei modelli concreti).
"dissonance":
Oggi credo che, più che studiare la geometria assiomatica, si preferisca studiare direttamente le realizzazioni concrete delle varie geometrie. C'è tutto un armamentario di matematica dedita a questo: geometria differenziale, geometria algebrica e sottorami vari.
Quindi, se ho capito, le geometrie non euclidee non riscuotono più interesse perché diventano semplicemente casi particolari di teorie più generali?
No. Non è questo. *Mi pare* che sia l'approccio assiomatico ad essere andato in disuso (sottolineo il *mi pare*). Voglio dire che oggi uno non parte da un sistema di assiomi per descrivere i suoi oggetti geometrici, ma piuttosto da costruzioni più o meno esplicite. Per esempio, uno non inizia un ragionamento cosi': "sia dato uno spazio iperbolico, ossia un affare che verifica gli assiomi seguenti". Invece uno lo inizia cosi': "sia data una *varietà* di dimensione tot, con curvatura tot, che verifica questa e quest'altra proprietà". Dove "varietà" è un termine generico della geometria che significa un po' tutto: una superficie, o uno spazio di dimensione maggiore.
Qual è il quinto postulato? Data una retta e un punto non contenuto in essa esiste esattamente una retta passante per il punto e parallela alla retta data? Se si i prodotti scalari non c'entrano nulla. Il piano affine verifica questo postulato
L'ho trovata la dimostrazione che cercavo!
Teorema: "Se S e T sono due spazi affini paralleli della stessa dimensione e aventi un punto in comune, allora sono uguali.
Corollario: V postulato
E' vero tutto questo viene prima dei prodotti scalari.
uno non inizia un ragionamento cosi': "sia dato uno spazio iperbolico, ossia un affare che verifica gli assiomi seguenti". Invece uno lo inizia cosi': "sia data una *varietà* di dimensione tot, con curvatura tot, che verifica questa e quest'altra proprietà". Dove "varietà" è un termine generico della geometria che significa un po' tutto: una superficie, o uno spazio di dimensione maggiore.
Questa differenza faccio un po' fatica a capirla, probabilmente perché non mi sono ancora avventurata in "altre geometrie" e quindi non ho ancora colto lo "spirito geometrico".
La geometria fatta nel piano proiettivo reale è ellittica (ovvero: per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta ad essa parallela). Dovresti essere al corrente che se levi una retta al piano proiettivo reale ottieni un piano affine. Che conclusione ne trai? Dare un'occhiata al Programma di Erlangen potrebbe aiutarti a schiarirti le idee.
Vorrei spendere qualche parola in più ma purtroppo per ora non ne ho il tempo.
Vorrei spendere qualche parola in più ma purtroppo per ora non ne ho il tempo.
"Epimenide93":
Dare un'occhiata al Programma di Erlangen potrebbe aiutarti a schiarirti le idee.
Sembra proprio interessante
. Anche questa introduzione mi pare fatta bene e riprende i concetti base:http://m.docente.unife.it/mariateresa.b ... langen.pdf
Dovresti essere al corrente che se levi una retta al piano proiettivo reale ottieni un piano affine
Spero di esserne al corrente tra qualche giorno
, devo rivedere queste cose che avevo solo intravisto.
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