Una proprietà delle famiglie di intorni
Buonasera a tutti!
Vorrei provare la seguente proposizione sulle famiglie di intorni:
Se $BinU_(x_0)$ allora $EEB'subeB$ con $B'inU_(x_0)$ e $B'inU_(q_0)$, $AAq_0inB'$.
[Per chiarezza, ho denotato con $U_(x_0)$ la famiglia di intorni del punto $x_0$]
Come posso dimostrarla? Intuitivamente ho capito il senso: dato un intorno di $x_0$ (nel nostro caso $B$), esiste almeno un altro intorno di $x_0$ (nel nostro caso $B'$) tale che $B$ è intorno di ogni punto di $B'$. Ovviamente $B'subeB$.
Ma come posso formalizzare la dimostrazione alla luce della definizione di intorno? Premetto che la definizione di intorno che dovrei sfruttare è la seguente:
"Sia $(X;vartheta)$ uno spazio topologico. Sia $x_0inX$. Un sottoinsieme $UsubeX$ si chiama intorno di $x_0$ se esiste $Ainvartheta$ per cui $x_0 inAsubeU$."
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Vorrei provare la seguente proposizione sulle famiglie di intorni:
Se $BinU_(x_0)$ allora $EEB'subeB$ con $B'inU_(x_0)$ e $B'inU_(q_0)$, $AAq_0inB'$.
[Per chiarezza, ho denotato con $U_(x_0)$ la famiglia di intorni del punto $x_0$]
Come posso dimostrarla? Intuitivamente ho capito il senso: dato un intorno di $x_0$ (nel nostro caso $B$), esiste almeno un altro intorno di $x_0$ (nel nostro caso $B'$) tale che $B$ è intorno di ogni punto di $B'$. Ovviamente $B'subeB$.
Ma come posso formalizzare la dimostrazione alla luce della definizione di intorno? Premetto che la definizione di intorno che dovrei sfruttare è la seguente:
"Sia $(X;vartheta)$ uno spazio topologico. Sia $x_0inX$. Un sottoinsieme $UsubeX$ si chiama intorno di $x_0$ se esiste $Ainvartheta$ per cui $x_0 inAsubeU$."
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Immagino che $vartheta$ sia l'insieme degli aperti dello spazio topologico.
Puoi provare che il tuo $B'$ è esattamente l'aperto $A$ nella definizione di intorno.
Naturalmente dovrai provare che
$A$ è aperto $Rightarrow$ $A$ è intorno di ogni suo punto.
(per la cronaca vale anche il viceversa)
Puoi provare che il tuo $B'$ è esattamente l'aperto $A$ nella definizione di intorno.
Naturalmente dovrai provare che
$A$ è aperto $Rightarrow$ $A$ è intorno di ogni suo punto.
(per la cronaca vale anche il viceversa)
"cirasa":
Immagino che $vartheta$ sia l'insieme degli aperti dello spazio topologico.
Sì, è esattamente così.
Io avevo pensato a questa formalizzazione:
dato che per ipotesi $BinU_(x_0)$ esiste $Ainvartheta$ tale che: $x_0inAsubeB$ e $q_0inAsubeB$, $AAq_0inA$. L'affermazione relativa a $q_0$ è giustificata dal fatto che ogni sottoinsieme di uno spazio topologico è aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto. Quindi si ha la tesi con $B'=A$.
E' corretta la mia esposizione?
[Ho notato che ricalca l'idea di cirasa, ma ho seguito il suggerimento dato nel testo dell'esercizio quindi non so se ho preso una via alternativa a quella proposta!]
Corretta!
Perfetto! Grazie! Ancora sono alle prime esperienze con la topologia e nonostante si trattasse di una banalità, preferisco rifletterci a fondo!
Adesso tutto chiaro!
Adesso tutto chiaro!
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