Un fatto quasi intuitivo

[Principe2]

Introduco un pò di semplice terminologia.

1) Uno spazio metrico $(X;d)$ è detto uniforme se ogni suo punto è di accumulazione.

2) un sottospazio $Y$ di uno spazio metrico è detto discreto se la distanza di due punti
di $y$ è comunque maggiore di una certa costante positiva.

Bene...

Siano $X$ uno spazio uniforme e $Y$ un suo sottospazio discreto.
mostrare (se è vero!) che ogni funzione $f:Y->Y$ si estende ad una funzione continua su tutto $X$ $g:X->Y$.

[david_e1]

Mmm ci provo perché mi stimola. Spero vogliate perdonarmi eventuali ca*** da ingegnere!

Allora sia:

$ T = \cup_{y \in Y} U (y) \subset X $ (1)

un insieme formato dall'unione disgiunta di intorni aperti di $y$

$ g_{T}(x) = f(y) \qquad \qquad \forall x \in U(y)$ (2)

tale funzione è continua, visto che la controimmagine di $f(y)$ è $U(y)$ che è un aperto. Sia ora $A$ l'insieme delle coppie ordinate $(g_{T},T)$ essendo $T$ un insieme del tipo (1) e $g$ una funzione come quella definita da (2). Definiamo la relazione di ordine parziale:

$ (g_{T},T) \leq (g_{T'},T') \iff T \subset T' \quad g_{T'} = g_{T} \ \ \text{se ristretta su T}$

siaa $S=\cup_{x} { (g_{T_x},T_x) }$ una catena in $A$ allora $S$ ammette un elemento massimale $(g,T_{\alpha})$ essendo:

$ T_{\alpha} = \cup_{x} T_x $

e:

$ g(x) = g_{T_x}(x) \qquad \text{se } x \in T_x$

allora esiste un elemento massimale $(g,T)$ in $A$ per il lemma di Zorn. Se la chiusura di $T$ coincide con $X$, prolungando per continuità $g$ abbiamo la tesi. Mostriamo che $\text{Cl} T=X$. Sia quindi, per assurdo, $x \in X$ non appartenente a $\text{Cl}T$. Esiste un intorno circolare $B_{\epsilon}(x)\subset X$ con $B_{\epsilon}(x) \cap T = \emptyset$. Possono avvenire due casi:

1. Possiamo prendere $\epsilon$ per cui esiste un unico $y in B_{\epsilon}(x)$, allora: $Q=T \cup B_{\epsilon}(x)$ è del tipo (1) e $g_Q$ ottenuta estendendo $g_T$ seguendo la regola (2) su $Q$ è del tipo (2) e $(g_Q,Q) \geq (g_T,T)$ che contraddice la tesi di massimalità.

2. Se $B_{\epsilon}(x) \cap Y=\emptyset$ possiamo prolungare $g_T$ in modo banale su $B_{\epsilon}$ assegnando a $g$ un valore arbitrario $y$. In ogni caso $g^{-1}(y)$ risulta l'unione di aperti e quindi aperto. Possiamo poi estendere $T$ come fatto al punto 1. violando ancora la massimalità.

Quindi esiste una funzione continua $g : X \rightarrow Y$, definita su tutto $X$.

Boh spero che sia giusta... se anche lo fosse, comunque, ci sarà sicuro un metodo più semplice!

[Principe2]

mi pare corretta..
ti è arrivato il mio pm?

[david_e1]

Si ho risposto or ora...

Occhio che io non sono abituato a lavorare in spazi così astratti e "poveri": non vorrei aver usato proprietà inesistenti dei metrici o peggio aver fatto qualche idiozia...