$U$ è un sottospazio?

[mazzy89-votailprof]

Ho difficoltà nella dimostrazione di questo esercizietto:


Sia $K=RR$ e $V=RR[x]_2$

$U={f in V $ / $ f(1)=0}$

devo dimostrare che $U$ è un sottospazio.

per dimostrare che è un sottospazio devo dimostrare in primis che il vettore nullo $in U$. ma poi mi perdo? mi aiutate?

[mistake89]

devi mostrare che è chiuso rispetto alla somma, quindi che comunque scelti $f,ginU$ la loro somma $f+g$ appartiene ancora a $U$ e che comunque prendi $alpha$ in $RR$, $alphafinU$.

Cosa vuol dire che $f(1)=0$? Quindi come sono fatti gli elementi di $U$?

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":devi mostrare che è chiuso rispetto alla somma, quindi che comunque scelti $f,ginU$ la loro somma $f+g$ appartiene ancora a $U$ e che comunque prendi $alpha$ in $RR$, $alphafinU$.

Cosa vuol dire che $f(1)=0$? Quindi come sono fatti gli elementi di $U$?

Ok la prima parte chiara. Gli elementi di $U$ sono fatti in tal modo $a + b + c$.

[mistake89]

mmm... $V$ sarebbe $RR_2[x]$ ovvero polinomi di grado $2$, quindi un generico polinomio è $ax^2+bx+c=0$, e per stare in $U$ il polinomio deve avere radice $1$, cioè si deve annullare in $1$. Quindi sia $f$ che $g$ saranno tali che $f(1)=g(1)=0$

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":mmm... $V$ sarebbe $RR_2[x]$ ovvero polinomi di grado $2$, quindi un generico polinomio è $ax^2+bx+c=0$, e per stare in $U$ il polinomio deve avere radice $1$, cioè si deve annullare in $1$. Quindi sia $f$ che $g$ saranno tali che $f(1)=g(1)=0$

Si esatto quindi come avevo detto io saranno nella forma $a+b+c$ esatto?

[mistake89]

no! Quello non è un polinomio.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":no! Quello non è un polinomio.

mmm allora non saprei come dimostrarlo. non ci arrivo. sono spento.

[mistake89]

Propongo la moltiplicazione per uno scalare, il resto prova a farlo tu, magari dopo averci dormito su!
Sia $lambdainRR$ allora $lambdaf$ sarà esplicitamente $lambdaax^2+lambdabx+lambdac=lambda(ax^2+bx+c)$ ma se $f(1)=0$ allora anche $lambdaf(1)=0$, quindi $lambdafinU$.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":Propongo la moltiplicazione per uno scalare, il resto prova a farlo tu, magari dopo averci dormito su!
Sia $lambdainRR$ allora $lambdaf$ sarà esplicitamente $lambdaax^2+lambdabx+lambdac=lambda(ax^2+bx+c)$ ma se $f(1)=0$ allora anche $lambdaf(1)=0$, quindi $lambdafinU$.

Bene capito.Adesso mi è chiaro. Ti ringrazio tanto. Ma come dici benissimo te meglio dormirci un pò su. per questo motivo posto il continuo ovvero la dimostrazione che $U$ è chiuso rispetto alla somma domani mattina quando avrò le idee più lucide.

[dissonance]

"mistake89":mmm... $V$ sarebbe $RR_2[x]$ ovvero polinomi di grado $2$

Di grado al più 2. Quindi anche di grado più basso. Lo so che lo sapete (come direbbe Celentano) ma è meglio specificarlo, detto così è sbagliato.

[mistake89]

Hai ragione dissonance! Chiedo scusa.