Trovare una base ortonormale

[daniele_cmp]

"Si consideri in $RR^4$ il prodotto scalare standard e sia S il suo sottospazio generato dai vettori $s=(1,0,1,1) t=(0,1,2,-1)$. Determinare una base ortonormale di S." Avevo pensato di usare gram-schmidt ma vorrei trovare un altro metodo. Mi potete dare una mano?

Grazie

[davidcape1]

penso che basti fare il prodotto vettoriale tra questi due vettori. Infatti una base si dice ortonormale quando è composta da vettori ortogonali a due a due. Come sicuramente sai il vettore che trovi facendo il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore perpendicolare ad entrambi. Cmq potrei anche avere inteso male, aspetta magari che ti risponda qualcun altro.

[_Tipper]

Non si può fare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^4$.

[davidcape1]

"Tipper":Non si può fare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^4$.

scusate l'eresia . non si può perchè una base è composta da vettori linearmente indipendenti e il massimo numero di vettori linearmente indipendenti è 3?
?

[davidcape1]

scusa però quello scalare si può fare no? per essere perpendicolari 2 vettori devono avere il prodotto scalare uguale a 0 giusto? non potrebbe moltiplicare i vettori scalarmente per un generico vettore che dia come risultato 0 se moltiplicato per entrambi?

[davidcape1]

guarda l'altro post che ho fatto.

[_Tipper]

Certo, quello scalare si può fare, è quello vettoriale che non si può fare per vettori di $\mathbb{R}^4$.

[_Tipper]

"davidcape":guarda l'altro post che ho fatto.

Visto, e nel frattempo ho anche cancellato il mio

[davidcape1]

si, ho capito, appunto, andrebbe bene come ho detto io per trovare un altro vettore perpendicolare ad entrambi o no?

[_Tipper]

Sì, va bene, ma alla fin fine, è il procedimento di Grahm-Schmidt.

[_Tipper]

Comunque non devi trovare un vettore perpendicolare a entrambi.

[davidcape1]

scusa ma se deve trovare una base ortonormale deve per forza trovare un vettore che sia perpendicolare ad entrambi altri menti la base non è ortonormale in quanto la definizione di ortonormalità implica che i vettori siano perpendicolari a 2 a 2.o mi ricordo male?

[_Tipper]

$S$ ha dimensione due, quindi non puoi trovare tre vettori ortogonali che stiano in $S$. Quello che devi fare è trovare due vettori ortogonali che generino $S$.

[davidcape1]

altrimenti posso imporre che la matrice composta da i due vettori che ho e il generico vettore abbia determinante diverso da 0, in quanto se lo avesse uguale a 0 sarebbero linearmente dipendenti, ovvero paralleli.sto vaneggiando?
edit: avevo completamente tralasciato la dimensione di S. Devo trovare i vettori generatori è vero.scusate i miei interventi sono molto arrugginito.E pensare che geometria è una delle mie materie preferite all'Università.

[_Tipper]

Non hai letto il mio post precedente, perché hai risposto troppo velocemente Il problema è che non si possono trovare tre vettori linearmente indipendenti che appartengano a uno spazio di dimensione $2$.

[davidcape1]

si si, hai ragione in pieno,scusate ancora. Scusa però, ti faccio una domanda.Due vettori identificano un piano. Se io trovo il piano che contiene i due vettori posso trovarne un altro che giace su quel piano che sia perpendicolare ad uno dei due no?

[_Tipper]

Non ho capito bene quello che chiedi... Allora, hai un piano, cosa vuoi trovare? Un altro piano?

EDIT: ho capito cosa intendevi, sì.

[_Tipper]

"daniele_cmp":"Si consideri in $RR^4$ il prodotto scalare standard e sia S il suo sottospazio generato dai vettori $s=(1,0,1,1) t=(0,1,2,-1)$. Determinare una base ortonormale di S." Avevo pensato di usare gram-schmidt ma vorrei trovare un altro metodo. Mi potete dare una mano?

Grazie

Comunque, riguardo a questo problema, io farei così. Scelgo come primo vettore della base ortogonale da costruire il vettore $s$.
Un generico vettori di $S$ si scrive come combinazione lineare di $s$ e $t$, ovvero, detto $v$ il generico vettore, risulta

$v = \alpha ((1),(0),(1),(1)) + \beta ((0),(1),(2),(-1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + 2 \beta),(\alpha - \beta))$ per $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Come giustamente diceva davidcape due vettori sono ortogonali se il prodotto scalare è nullo, quindi calcoliamo il prodotto scalare $\langle s, v \rangle$ e uguagliamolo a zero

$\alpha + \alpha + 2 \beta + \alpha - \beta = 0$ da cui $\beta = -3 \alpha$

Scegliendo arbitrariamente $\alpha=1$ si ottiene $\beta= -3$, pertanto il vettore $v$ risulta pari a $v = ((1),(-3),(-5),(4))$

Pertanto l'insieme $\{s, v\}$ è una base ortogonale di $S$. Una base ortonormale è l'insieme $\{ \frac{s}{||s||}, \frac{v}{||v||} \}$, dove $|| \cdot ||$ indica la norma euclidea.

[Supalova10]

"Tipper":Non si può fare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^4$.

non vorrei saprare una cazzata ma io sapevo che il prodotto vettoriale si puo tranquillamente estendere anche in $RR^4$ usando il formalismo dei tensori....

[_Tipper]

"Supalova10":[quote="Tipper"]Non si può fare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^4$.

non vorrei saprare una cazzata ma io sapevo che il prodotto vettoriale si puo tranquillamente estendere anche in $RR^4$ usando il formalismo dei tensori....[/quote]
Poesse, ammetto la mia ignoranza, ma non conosco i tensori, perciò, se ho detto qualcosa di sbagliato, ritiro tutto.

[Supalova10]

"Tipper":[quote="Supalova10"][quote="Tipper"]Non si può fare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^4$.

non vorrei saprare una cazzata ma io sapevo che il prodotto vettoriale si puo tranquillamente estendere anche in $RR^4$ usando il formalismo dei tensori....[/quote]
Poesse, ammetto la mia ignoranza, ma non conosco i tensori, perciò, se ho detto qualcosa di sbagliato, ritiro tutto.[/quote]

ricordavo bene.... anche se comunque fare un prodotto vettoriale in $RR^4$ non avrebbe aiutato in questo caso specifico dato che si perde l'immediatezza del prodotto vettoriale in $RR^n per n>3$

comunque per chi volesse soddisfare la propia curiosita date un occhio qui http://www.firenze.linux.it/~piccardi/r ... node6.html

in particolare guardate la def di tensore di ricci (2.25) e la def di prodotto vettoriale (fra la 2.28 e la 2.29)