Trovare una base ortonormale

[daniele_cmp]

"Si consideri in $RR^4$ il prodotto scalare standard e sia S il suo sottospazio generato dai vettori $s=(1,0,1,1) t=(0,1,2,-1)$. Determinare una base ortonormale di S." Avevo pensato di usare gram-schmidt ma vorrei trovare un altro metodo. Mi potete dare una mano?

Grazie

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"Tipper":[quote="daniele_cmp"]"Si consideri in $RR^4$ il prodotto scalare standard e sia S il suo sottospazio generato dai vettori $s=(1,0,1,1) t=(0,1,2,-1)$. Determinare una base ortonormale di S." Avevo pensato di usare gram-schmidt ma vorrei trovare un altro metodo. Mi potete dare una mano?

Grazie

Comunque, riguardo a questo problema, io farei così. Scelgo come primo vettore della base ortogonale da costruire il vettore $s$.
Un generico vettori di $S$ si scrive come combinazione lineare di $s$ e $t$, ovvero, detto $v$ il generico vettore, risulta

$v = \alpha ((1),(0),(1),(1)) + \beta ((0),(1),(2),(-1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + 2 \beta),(\alpha - \beta))$ per $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Come giustamente diceva davidcape due vettori sono ortogonali se il prodotto scalare è nullo, quindi calcoliamo il prodotto scalare $\langle s, v \rangle$ e uguagliamolo a zero

$\alpha + \alpha + 2 \beta + \alpha - \beta = 0$ da cui $\beta = -3 \alpha$

Scegliendo arbitrariamente $\alpha=1$ si ottiene $\beta= -3$, pertanto il vettore $v$ risulta pari a $v = ((1),(-3),(-5),(4))$

Pertanto l'insieme $\{s, v\}$ è una base ortogonale di $S$. Una base ortonormale è l'insieme $\{ \frac{s}{||s||}, \frac{v}{||v||} \}$, dove $|| \cdot ||$ indica la norma euclidea.[/quote]

Perfetto, ti ringrazio. Io m'ero bloccato su gram-schmidt e non riuscivo ad andare oltre. In effetti si poteva fare anche senza...

Grazie!

[_Tipper]

Prego.