Trovare una base del nucleo e dell'immagine

[gcappellotto]

Salve a tutti
dovrei trovare una base del nucleo e una dell'immagine. Indicato con V il sottospazio di $C^{\infty}(R)$ generato dalle funzioni $\sin x \quad \cos x$, poniamo:

$F:V \rightarrow V: f(x) \rightarrow f'"(x)+f(x)$.
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Un generico vettore v in V è:
$v = A \sin(x) + B \cos(x)$

$F(v)=-A \sin(x)+B \cos(x)$
Questa è l'immagine di v secondo F.
Per trovare il nucleo devo fare un sistema: (?)

$-A\sin(x)=0$
$B \cos(x)=0$
Sono in difficoltà, gradirei qualche indicazione.

Grazie e saluti
Giovanni C.

[ciampax]

Se $v=f(x)=A\sin x+B\cos x$ è un elemento di $V$, allora
$$F(v)=F(f(x))=(A\sin x+B\cos x)'+(A\sin x+B\cos x)=(A-B)\sin x+(A+B)\cos x$$

[gcappellotto]

Ho commesso un errore:
$F:V \rightarrow V: f(x) \rightarrow f''(x)+f(x) $ (c'era la derivata seconda)

$F(v)=F(f(x))=(A\sin x+B\cos x)''+(A\sin x+B\cos x)=-A\sin(x)-B\cos(x)+A \sin(x)+B\cos(x)=0$
Cosa posso concludere per quanto riguarda base e nucleo?

Grazie
Giovanni C.

[Nic023]

L'applicazione in questione è l'applicazione nulla in quanto ogni $ v \in V $ viene mandato in $ 0 $. Dalla formula dimensionale sappiamo che $ dimV = dimkerf + dim imf $ , ma essendo l'immagine nulla $ dimkerf=2 $. D'altra parte essendo il nucleo un sottospazio di $ V $ con la stessa dimensione i due spazi vettoriali coincidono pertanto ogni base di $ V $ è una base di $ kerf $