Trovare se esiste un'applicazione lineare con determinate caratteristiche
Salve, devo svolgere il seguente esercizio:
Esistono applicazioni lineari $ f:R^3->R^3: f(1,0,-2)=(1,-1,3); f(2,1,-3)=(2,0,1); f(9,3,-3)=(9,-h,4h) $ per dei valori di h?
Cioè la mia interpretazione della domanda sarebbe: Per quali valori di h questa applicazione è lineare?
Allora vedendo che (1,0,-2), (2,1,-3), (9,3,-3) Sono linearmente indipendenti e quindi formano una base, con le trasformate che l'eserczio mi da, io posso scrivere una delle matrici associate all'applicazione, ovvero
$ {: ( 1 , 2 , 9 ),( -1 , 0 , -h ),( 3 , 1 , 4h ) :} $
Da questa verifico se vale la proprietà additiva ed omogenea dell'applicazione, e ho visto che vale per qualsiasi h. Quind teoricamente l'applicazione è lineare indipendentemente da h. Eppure, la risposta dell'esercizio è che è lineare solo per determinati valori di h (non si sa se è unico o meno). Quindi la mia risposta è sbagliata... Qualcuno ha qualche idea?
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione nella sezione di Geometria e Algebra lineare.[/xdom]
Esistono applicazioni lineari $ f:R^3->R^3: f(1,0,-2)=(1,-1,3); f(2,1,-3)=(2,0,1); f(9,3,-3)=(9,-h,4h) $ per dei valori di h?
Cioè la mia interpretazione della domanda sarebbe: Per quali valori di h questa applicazione è lineare?
Allora vedendo che (1,0,-2), (2,1,-3), (9,3,-3) Sono linearmente indipendenti e quindi formano una base, con le trasformate che l'eserczio mi da, io posso scrivere una delle matrici associate all'applicazione, ovvero
$ {: ( 1 , 2 , 9 ),( -1 , 0 , -h ),( 3 , 1 , 4h ) :} $
Da questa verifico se vale la proprietà additiva ed omogenea dell'applicazione, e ho visto che vale per qualsiasi h. Quind teoricamente l'applicazione è lineare indipendentemente da h. Eppure, la risposta dell'esercizio è che è lineare solo per determinati valori di h (non si sa se è unico o meno). Quindi la mia risposta è sbagliata... Qualcuno ha qualche idea?
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione nella sezione di Geometria e Algebra lineare.[/xdom]
Risposte
I vettori $(1,0,-2),(2,1,-3),(9,3,-3)$ sono linearmente indipendenti e questo assicura che l'applicazione lineare in questione esiste a PRESCINDERE da come sono date le corrispondenti immagini. Pertanto il problema proposto non dipende dai valori che assume il parametro h.
Mi sono preso la briga di calcolare la matrice M associata all'applicazione :
\(\displaystyle M= \begin{pmatrix}1&0&0\\-h/6-1/2&h/{12}+7/4&-h/{12}+1/4\\{2h}/3+1&-h/3-4&h/3-1\end{pmatrix} \)
Mi sono preso la briga di calcolare la matrice M associata all'applicazione :
\(\displaystyle M= \begin{pmatrix}1&0&0\\-h/6-1/2&h/{12}+7/4&-h/{12}+1/4\\{2h}/3+1&-h/3-4&h/3-1\end{pmatrix} \)
Immagino tu abbia calcolato la matrice associata alla base canonica, quella scritta da me era associata alla base dei tre vettori linearmente indipendenti che aveva dato l'esercizio e la base canonica come base d'arrivo.
Quindi effettivamente l'applicazione è lineare per ogni h e la mia risposta era corretta...Eppure le possibili risposte sono le seguenti:
a) Nessuna delle altre risposte
b) Per ogni valore di h
c) Solo per h= 6
d) solo per h= 4
e) Per nessun valore di h
E la soluzione dice che è corretta nessuna delle altre risposte, quindi non è vero che è lineare per ogni valore e nemmeno per nessun valore, ma lo è solo per particolari valori...
Quindi effettivamente l'applicazione è lineare per ogni h e la mia risposta era corretta...Eppure le possibili risposte sono le seguenti:
a) Nessuna delle altre risposte
b) Per ogni valore di h
c) Solo per h= 6
d) solo per h= 4
e) Per nessun valore di h
E la soluzione dice che è corretta nessuna delle altre risposte, quindi non è vero che è lineare per ogni valore e nemmeno per nessun valore, ma lo è solo per particolari valori...
La matrice che ho postato è rispetto alla base canonica ( in partenza ed in arrivo). Di solito una tale precisazione è superflua visto che, per basi diverse da quelle canoniche, è richiesta una esplicita descrizione.
Per il resto sono sicuro che la risposta giusta è la (b). Lo conferma il fatto che il parametro h compare solo nelle coordinate delle immagini e, per quello che ne so io, qualsiasi limitazione di un'applicazione lineare riguarda soltanto le preimmagini, mentre le immagini possono essere date in maniera del tutto arbitraria. Del resto, una volta determinata la matrice associata alla trasformazione ( rispetto ad una qualunque coppia di basi), la trasformazione medesima è bella che costruita. Nel caso in questione è infatti facile osservare che la matrice M da me calcolata porta i vettori $(1,0,-2),(2,1,-3),(9,3,-3)$ esattamente nei vettori $(1,-1,3),(2,0,1),(9,-h,4h)$. Come richiesto.
Per il resto sono sicuro che la risposta giusta è la (b). Lo conferma il fatto che il parametro h compare solo nelle coordinate delle immagini e, per quello che ne so io, qualsiasi limitazione di un'applicazione lineare riguarda soltanto le preimmagini, mentre le immagini possono essere date in maniera del tutto arbitraria. Del resto, una volta determinata la matrice associata alla trasformazione ( rispetto ad una qualunque coppia di basi), la trasformazione medesima è bella che costruita. Nel caso in questione è infatti facile osservare che la matrice M da me calcolata porta i vettori $(1,0,-2),(2,1,-3),(9,3,-3)$ esattamente nei vettori $(1,-1,3),(2,0,1),(9,-h,4h)$. Come richiesto.
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