Trovare l'immagine di un vettore

[^Tipper^1]

Ciao. Trovo difficoltà nel trovare l'immagine di un vettore, utilizzando però la matrice associata all'applicazione lineare.

Sia $f : R^3 -> R^3$ l'applicazione lineare tale che $(1,-1,2) in Ker(f); (1,1,1)$ è autovettore con autovalore $-3; f(-1,1,0)=(-3,-2,-6)$. L'immagine del vettore $(-3,-3,1)$ è...?

Questo esercizio sono riuscito a risolverlo facendo la combinazione lineare, ma non riesco invece a risolverlo utilizzando la matrice associata.

Per fare la matrice associata ho fatto:

scrivo le coordinate del vettore $(-3,-2,-6)$ rispetto alla base $B={(1,-1,2), (1,1,1), (-1,1,0)}$

$(-3,-2,-6)=a(1,-1,2)+b(1,1,1)+c(-1,1,0)$ Ottengo $a=-7/4 , b=-5/2 , c=-5/4$

Quindi:

$f(v_1)=0$
$f(v_2)=(0,-3,0)$
$f(v_3)=(-7/4 , -5/2 , -5/4)$

Però, quando vado a moltiplicare questa matrice con il il vettore di cui devo trovare l'immagine, non ottengo il risultato corretto.

[orazioster]

E' che per trovare
le coordinate del vettore nella base da te detta, non
devi procedere in quel modo.

Devi usare la matrice di cambiamento di base, che non è
$A=((1,1,-1),(-1,1,1),(2,1,0))$, ma $A^-1$

Se ci pensi, le coordinate dei vettori che consideravi -nella base canonica,
moltiplicate a sinistra per $A^-1$, NON $A$ -ti danno appunto la matrice identità,"delle
loro coordinate" nella base data da essi stessi.

[^Tipper^1]

Non ho capito: uso la matrice $A^-1$ ma per trovare le coordinate?

[orazioster]

chiamo $v'$ le coordinate
nella nuova base di un vettore qualsiasi di ccordinate $v$ nella
base canonica:

$v'=A^-1v$.

[^Tipper^1]

Ho fatto la matrice inversa di A $A=((1,1,-1),(-1,1,1),(2,1,0))$

$A^-1= ((-1/4,-1/4,1/2),(1/2,1/2,0),(-3/4,1/4,1/2))$ Ho moltiplicato $A^-1 * (-3,-2,-6)$

Ho scritto la matrice con le nuove coordinate $A=((0,0,-7/4),(0,-3,-5/2),(0,0,-5/4))$ L'ho moltiplicata per $(-3,-3,1)$ però cpntinua a non tornarmi.

[orazioster]

La matrice che rappresenta l'applicazione lineare è quella
che avevi-

$ L=((0,-3,-3),(0,-3,-2),(0,-3,-6))$

Prova a fare allora $Lv'$.

Ricapitolando:

la matrice $L$ che rappresenta un'applicazione lineare
la ottieni assumendo come colonne le immagini dei vettori di una base $B'$.

L'immagine /nella base $B'$/ di un vettore
qualsasi la ottieni moltiplicando $L$ per
le coordinate del vettore /nella base $B'$

Allora:

parti da vettori nella base canonica, come nel tuo caso.

1)ottieni $L$
2) per avere l'immagine di $v$, essa sarà:
$f_L(v)=ALA^-1v$, dove $A$ ed $A^-1$ sono come avevamo definito.

Studiamo la formula:
$A^-1v$ "ti passa" $v$ nella nuova base;
$L$ ti dà l'immagine in questa base;
$A$ ti porta l'immagine nella base iniziale;