Trovare l'equazione del piano dati i punti A B C
Salve ragazzi sono un nuovo utente ed ho un problema che potrebbe mettere in dubbio le conoscenze da me acquisite in materia,dunque ora vi spiego :
L'esercizio mi chiede di trovare il piano passante per questi tre punti A( 1 ; 2 ; -3) , B( 2 ; -1 ; 4) e C(0 ; 4 ; 1) il mio problema e che dopo aver trovato l'equazione del piano tramite il sistema con le tre equazioni generiche del piano per i rispettivi tre punti, per scrupolo ho deciso di trovare l'equazione tramite il fascio di piani (trovando il piano per la retta AB imponendo il passaggio nel punto C) il problema e che non mi è uscita la stessa equazione... allora ho provato tramite matrice (cioè con i vettori AB , AC ed il punto A) e lì ho avuto quasi la stessa situazione nel senso che mi esce un'equazione leggermente diversa da quella trovata col sistema... a quale metodo devo dare retta ? a nessuno ? XD
Illuminatemi vi prego ! Grazie in anticipo !
L'esercizio mi chiede di trovare il piano passante per questi tre punti A( 1 ; 2 ; -3) , B( 2 ; -1 ; 4) e C(0 ; 4 ; 1) il mio problema e che dopo aver trovato l'equazione del piano tramite il sistema con le tre equazioni generiche del piano per i rispettivi tre punti, per scrupolo ho deciso di trovare l'equazione tramite il fascio di piani (trovando il piano per la retta AB imponendo il passaggio nel punto C) il problema e che non mi è uscita la stessa equazione... allora ho provato tramite matrice (cioè con i vettori AB , AC ed il punto A) e lì ho avuto quasi la stessa situazione nel senso che mi esce un'equazione leggermente diversa da quella trovata col sistema... a quale metodo devo dare retta ? a nessuno ? XD
Illuminatemi vi prego ! Grazie in anticipo !
Risposte
Mmmm la cosa è sospetta, credo ti convegna postare i tuoi calcoli così da poterci dare un'occhiata, magari fai un errore sistematico che rischi di ripetere in futuro e possiamo correggerlo.
Paola
Paola
okok un'altra domanda : non è che c'è qualcosa che mi converrebbe sapere a riguardo ? cioè ora mi spiego ,nel senso se c'è un qualcosa che impone di utilizare i tre metodi in tre diversi casi, cioè i metodi da me utilizati valgono sempre e comunque ?
1) METODO COL SISTEMA
A( a +2b -3c +d=0
B(2a -b +4c +d=0
C(4b +c +d =0
son partito da qui poi ho trovato la d con l'ultima equazione ho sostituito ed eseguito i calcoli :
(a - 2b -4c =0
(2a -5b +3c =0
(d = -4b-c
dopodichè ho trovato la a con la prima equazione ed eseguito i calcoli :
(a= 2b +4c
(4b + 8 c -5 b + 3c=0
(d= -4b -c
per finire ho trovato la b con la seconda equazione ho fatto le rispettive sostituzioni e mi sono usciti tre valori in funzione di c che poi sostituiti all'equazione generica del piano mi esce (ho tolto la c come di norma):
26x+11y-45 =0
2) METODO CON IL FASCIO DI PIANI
Trovo la retta AB grazie ai rapporti uguali e ho :
x-1 = y-2 = z+3
2-1 -1-2 4+3
svolgendo i calcoli e mettendo a sistema avrò l'eqazione della retta come intersezione di due piani :
(3x+y-5=0
(7y+3z-23=0
ovviamente svolgo tramite il fascio :
\lambda (+3x+y-5) + \mu (7y+3z-23)
impongo il passaggio per c, svolgendo i vari calcoli mi esce :
\lambda + 20 \mu = 0
pongo lambda uguale ad 1 e mu sarà uguale ad 1/20 sostituisco i parametri moltiplico e svolgo i calcoli mi uscirà :
3x +y-5+7/20y +3/20z -23/20 =0
60x+27y+3z-123 = 0 -.-
3) METODO CON LA MATRICE
prendo in considerazione il punto a e i vettori AB AC:
(x-1 y-2 z+3)
(2-1 -1-1 4+3)
(0-1 4-2 1+3)
trovo il determinante e la z mi si annulla ed esce :
(x-1)(24) -(y-2)(11) = 0
da cui : 24x-11y-46 = 0 -.-'''''
Grazie ancora !
1) METODO COL SISTEMA
A( a +2b -3c +d=0
B(2a -b +4c +d=0
C(4b +c +d =0
son partito da qui poi ho trovato la d con l'ultima equazione ho sostituito ed eseguito i calcoli :
(a - 2b -4c =0
(2a -5b +3c =0
(d = -4b-c
dopodichè ho trovato la a con la prima equazione ed eseguito i calcoli :
(a= 2b +4c
(4b + 8 c -5 b + 3c=0
(d= -4b -c
per finire ho trovato la b con la seconda equazione ho fatto le rispettive sostituzioni e mi sono usciti tre valori in funzione di c che poi sostituiti all'equazione generica del piano mi esce (ho tolto la c come di norma):
26x+11y-45 =0
2) METODO CON IL FASCIO DI PIANI
Trovo la retta AB grazie ai rapporti uguali e ho :
x-1 = y-2 = z+3
2-1 -1-2 4+3
svolgendo i calcoli e mettendo a sistema avrò l'eqazione della retta come intersezione di due piani :
(3x+y-5=0
(7y+3z-23=0
ovviamente svolgo tramite il fascio :
\lambda (+3x+y-5) + \mu (7y+3z-23)
impongo il passaggio per c, svolgendo i vari calcoli mi esce :
\lambda + 20 \mu = 0
pongo lambda uguale ad 1 e mu sarà uguale ad 1/20 sostituisco i parametri moltiplico e svolgo i calcoli mi uscirà :
3x +y-5+7/20y +3/20z -23/20 =0
60x+27y+3z-123 = 0 -.-
3) METODO CON LA MATRICE
prendo in considerazione il punto a e i vettori AB AC:
(x-1 y-2 z+3)
(2-1 -1-1 4+3)
(0-1 4-2 1+3)
trovo il determinante e la z mi si annulla ed esce :
(x-1)(24) -(y-2)(11) = 0
da cui : 24x-11y-46 = 0 -.-'''''
Grazie ancora !
Aiutooo :S
Ciao, nel primo metodo (quello con il sistema) c'è un errore: manca la $z$.
La soluzione corretta è $$26x+11y+z-45=0$$
PS. Cerca di usare le formule perchè si fa fatica a leggere: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
La soluzione corretta è $$26x+11y+z-45=0$$
PS. Cerca di usare le formule perchè si fa fatica a leggere: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
"3Caos0":
svolgendo i calcoli e mettendo a sistema avrò l'eqazione della retta come intersezione di due piani :
(3x+y-5=0
(7y+3z-23=0
Nel secondo metodo è sbagliato il secondo piano: hai$$
\frac{y-2}{-3} = \frac{z+3}{7} \Rightarrow 7y-14 = -3z-9 \Rightarrow 7y+3z-5=0
$$
"3Caos0":
prendo in considerazione il punto a e i vettori AB AC:
(x-1 y-2 z+3)
(2-1 -1-1 4+3)
(0-1 4-2 1+3)
Nel terzo è sbagliato l'elemento $(2, 2)$: la matrice corretta è$$
\begin{pmatrix}x-1&y-2&z+3\\1&-3&7\\-1&2&4\end{pmatrix}
$$da cui si ricava la soluzione vista prima.
Direi che con questo abbiamo finito!
quindi se non fosse per quei stupidissimi errori tutti e tre i metodi avrebbero lo stesso risultato e quindi sarebbero tutti e tre giusti ?
"3Caos0":
quindi se non fosse per quei stupidissimi errori tutti e tre i metodi avrebbero lo stesso risultato e quindi sarebbero tutti e tre giusti ?
Esatto.
grazie mille oggi sei il mio salvatore XD purtroppo sono autodidatta su questi argomenti e ho qualche dubbio e perplesità da risolvere :S
"3Caos0":
grazie mille oggi sei il mio salvatore XD purtroppo sono autodidatta su questi argomenti e ho qualche dubbio e perplesità da risolvere :S
Prego!
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