Trovare la matrice associata a due basi
Ciao ragazzi , ho un problema con un esercizio che non riesco a capire come risolvere ve lo scrivo qui di seguito
siano $RR2[x]$ e $RR3[x]$ gli spazi vettoriali dei polinomi rispettivamente di grado >=2 e di grado >= 3 . sia L il morfismo da $RR2[x]$ in $RR3[x]$ definito da :
$L (a+bx+cx^2)= -b+(a+c)x+(a-c)x^2+(b-c)x^3$
determinare la matrice associata ad $L$ rispetto alle basi :
$ B= {1,1+x,1-x^2}$ e $BB={1,x,x+x^2,x^3}$
ringrazio in anticipo per ogni aiuto
siano $RR2[x]$ e $RR3[x]$ gli spazi vettoriali dei polinomi rispettivamente di grado >=2 e di grado >= 3 . sia L il morfismo da $RR2[x]$ in $RR3[x]$ definito da :
$L (a+bx+cx^2)= -b+(a+c)x+(a-c)x^2+(b-c)x^3$
determinare la matrice associata ad $L$ rispetto alle basi :
$ B= {1,1+x,1-x^2}$ e $BB={1,x,x+x^2,x^3}$
ringrazio in anticipo per ogni aiuto
Risposte
nessuna idea?
Forse volevi scrivere "grado<=2,grado<=3". Col ">" non vai lontano. Ho la soluzione ( suggerimenti di soluzione !) per te ma ora è tardi, se ne parla domani.
[xdom="Seneca"]Tieni presente che non puoi fare "up" così presto. Per regolamento devi aspettare 24h.[/xdom]
Il tuo quesito può risolversi con formule prestabilite che io però non ricordo mai. Pertanto ti presento un metodo equivalente. Intanto puoi sostituire ad ogni polinomio il vettore dei suoi coefficienti, ordinato secondo le potenze crescenti della indeterminata x. Per esempio :
\(\displaystyle a+bx+cx^2->(a,b,c) \)
Pertanto l'applicazione L si scrive anche così :
\(\displaystyle L^t(a,b,c)=( -b,a+c,a-c,b-c)\)
ovvero come un'applicazione lineare \(\displaystyle \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^4 \)
[ N.B. I vettori con "^t" s'intendono scritti come vettori colonna e ciò vale anche per il seguito. ]
e quindi la matrice A associata ad L, relativamente alla base canonica sia in partenza che in arrivo, diventa :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{pmatrix} \)
Adesso bisogna calcolare la matrice C relativa alla base \(\displaystyle B=[^t(1,0,0),^t(1,1,0),^t(1,0,-1)] \) come base di partenza e alla base \(\displaystyle BB= [^t(1,0,0,0),^t(0,1,0,0),^t(0,1,1,0),^t(0,0,0,1)]\) come base di arrivo e questa si calcola con i seguenti passi :
1) Di ogni vettore v della base B si determina l'immagine tramite la matrice A: in pratica si esegue il prodotto \(\displaystyle u=A\cdot ^tv \)
2) il vettore u così determinato si esprime come combinazione lineare dei vettori della base BB
3) il vettore coordinato, calcolato al punto (2), è una colonna della matrice C richiesta.
Come esempio mi limito a considerare solo il vettore \(\displaystyle v=^t(1,0,0) \) di B
1) Calcolo il prodotto \(\displaystyle u=A\cdot ^vt =\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}\cdot ^v(1,0,0)= ^t(0,1,1,0)\)
2) Esprimo il vettore trovato in funzione dei vettori di BB ed ho :
\(\displaystyle ^t(0,1,1,0)= 0\cdot^t(1,0,0,0)+0\cdot^t(0,1,0,0)+1\cdot^t(0,1,1,0)+0\cdot^t(0,0,0,1)]\)
Pertanto la prima colonna di C è data dai coefficienti 0,0,1,0 della precedente combinazione lineare.
Continuando così per tutti i vettori di B si ottiene la matrice C richiesta. Per controllo tieni presente che alla fine il risultato è il seguente :
\(\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-2\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle a+bx+cx^2->(a,b,c) \)
Pertanto l'applicazione L si scrive anche così :
\(\displaystyle L^t(a,b,c)=( -b,a+c,a-c,b-c)\)
ovvero come un'applicazione lineare \(\displaystyle \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^4 \)
[ N.B. I vettori con "^t" s'intendono scritti come vettori colonna e ciò vale anche per il seguito. ]
e quindi la matrice A associata ad L, relativamente alla base canonica sia in partenza che in arrivo, diventa :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{pmatrix} \)
Adesso bisogna calcolare la matrice C relativa alla base \(\displaystyle B=[^t(1,0,0),^t(1,1,0),^t(1,0,-1)] \) come base di partenza e alla base \(\displaystyle BB= [^t(1,0,0,0),^t(0,1,0,0),^t(0,1,1,0),^t(0,0,0,1)]\) come base di arrivo e questa si calcola con i seguenti passi :
1) Di ogni vettore v della base B si determina l'immagine tramite la matrice A: in pratica si esegue il prodotto \(\displaystyle u=A\cdot ^tv \)
2) il vettore u così determinato si esprime come combinazione lineare dei vettori della base BB
3) il vettore coordinato, calcolato al punto (2), è una colonna della matrice C richiesta.
Come esempio mi limito a considerare solo il vettore \(\displaystyle v=^t(1,0,0) \) di B
1) Calcolo il prodotto \(\displaystyle u=A\cdot ^vt =\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}\cdot ^v(1,0,0)= ^t(0,1,1,0)\)
2) Esprimo il vettore trovato in funzione dei vettori di BB ed ho :
\(\displaystyle ^t(0,1,1,0)= 0\cdot^t(1,0,0,0)+0\cdot^t(0,1,0,0)+1\cdot^t(0,1,1,0)+0\cdot^t(0,0,0,1)]\)
Pertanto la prima colonna di C è data dai coefficienti 0,0,1,0 della precedente combinazione lineare.
Continuando così per tutti i vettori di B si ottiene la matrice C richiesta. Per controllo tieni presente che alla fine il risultato è il seguente :
\(\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-2\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix} \)
Vittorio ti ringrazio per la riposta , ora vedo di capire la tua soluzione , comunque sul testo dell'esercizio c'è scritto proprio > ....ora non so =) , chiedo scusa per up ma non sapevo dovessi aspettare 24 H , sarò dotto per la prossima volta
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