Trovare intersezione tra retta r e piano
Si consideri lo spazioa ffine euclideo $S_3$ si fissi in esso un sistema di riferimento ortogonale R(O,{i,j,k}); sia r la retta per P(1,0,0) di vettore direttore r=(1,-1,2), p il piano passante per l'origine e ortogonale ad r
Trovare r intersecato p
Allora per svolgere questo esercizio io prenderei in considerazione l'equazione del piano in forma cartesiana
$ax+by+cz+d=0$ e la forma parametrica della retta r passatente per P $\{(x=1+1t),(y=0-1t),(z=0+2t):}$(ma non dovrebbe esserci anche un'altro parametro direttore essendo in uno spazio a tre dimensioni??)
Dato che il piano deve essere passante per l'origine e ortogonale ad r avremo che l'equazione del piano si riduce a
$ax+by+cz=0$
Adesso posso andare a sostituire alle x,y,z del piano ,quelle del sistema per trovare la loro intersezione e ottengo
$t(a-b+2c)+a=0$
mi ricavo t ==> $t=-a/(a-b+2c)$
sostituendo la t nel sistema
$\{(x=1+1t),(y=0-1t),(z=0+2t):}$ dovrei ottenere $\{(x=1-a/(a-b+2c)),(y=-a/(a-b+2c)),(z=2a/(a-b+2c)):}$ che dovrebbero essere le cordinate del punto di intersezione
Certo di non aver fatto tutto per bene aspetto vostre correzioni!
grazie
Trovare r intersecato p
Allora per svolgere questo esercizio io prenderei in considerazione l'equazione del piano in forma cartesiana
$ax+by+cz+d=0$ e la forma parametrica della retta r passatente per P $\{(x=1+1t),(y=0-1t),(z=0+2t):}$(ma non dovrebbe esserci anche un'altro parametro direttore essendo in uno spazio a tre dimensioni??)
Dato che il piano deve essere passante per l'origine e ortogonale ad r avremo che l'equazione del piano si riduce a
$ax+by+cz=0$
Adesso posso andare a sostituire alle x,y,z del piano ,quelle del sistema per trovare la loro intersezione e ottengo
$t(a-b+2c)+a=0$
mi ricavo t ==> $t=-a/(a-b+2c)$
sostituendo la t nel sistema
$\{(x=1+1t),(y=0-1t),(z=0+2t):}$ dovrei ottenere $\{(x=1-a/(a-b+2c)),(y=-a/(a-b+2c)),(z=2a/(a-b+2c)):}$ che dovrebbero essere le cordinate del punto di intersezione
Certo di non aver fatto tutto per bene aspetto vostre correzioni!
grazie
Risposte
I domanda: essendo le rette spazi di dimensione 1 richiedono un parametro nella loro rappresentazione parametrica!
II domanda: ma ti sei reso conto che il piano non l'hai determinato?
II domanda: ma ti sei reso conto che il piano non l'hai determinato?
beh il piano è di eq ax+by+cz=0 sicuramente perchè passa per l'origine... ma per il resto non so come determinarlo 
Imponi la condizione di ortogonalità tra un piano ed una retta in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]!
mmm quale sarebbe?
che il rango tra il piano e i parametri direttori della retta sia pari a 1?
$r(A)=((a ,b, c),(1,-1,2))=1$
che il rango tra il piano e i parametri direttori della retta sia pari a 1?
$r(A)=((a ,b, c),(1,-1,2))=1$
Supposto che [tex]$\mathfrak{R}$[/tex] sia ortonormale!
quindi nel mio esercizio mi ero scordato di mettere la condizione di ortogonalità ?
il resto stava fatto bene? cioè il modo con il quale mi so ricavato le coordinate del punto di intersezione?
il resto stava fatto bene? cioè il modo con il quale mi so ricavato le coordinate del punto di intersezione?
I) Sì.
II) Non ho capito come hai fatto; sai passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana? Così verifico meglio!
II) Non ho capito come hai fatto; sai passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana? Così verifico meglio!
penso di si
tramite la place faccio questo det$ ((x-x0,y-y0,z-z0),(l,m,n),(l',m',n'))$
ax+by+cz+d=0
tramite la place faccio questo det$ ((x-x0,y-y0,z-z0),(l,m,n),(l',m',n'))$
ax+by+cz+d=0
Io non procedo così, mi è oscura come modalità! 
Nella rappresentazione parametrica della retta basta notare che [tex]$y=-t$[/tex] fai le sostituzioni e ti trovi eliminato il parametro!
Nella rappresentazione parametrica della retta basta notare che [tex]$y=-t$[/tex] fai le sostituzioni e ti trovi eliminato il parametro!
alt non ti sto seguendo... y=-t z=2t x=1+t di che sostituizioni parli?
Posto [tex]$y=-t$[/tex] ti ritrovi che [tex]$r$[/tex] abbia rappresentazione cartesiana [tex]$\begin{cases}x=1-y\\z=-2y\end{cases}$[/tex]; trovandoti l'equazione cartesiana del piano, codesta la metti a sistema assieme a quelle della rappresentazione di [tex]$r$[/tex] e ti trovi il punto d'intersezione.
Infine: chi ha mai parlato di soluzioni? Non ti confondere con l'altro esercizio in cui ti sto guidando.
Infine: chi ha mai parlato di soluzioni?
Non ti confondere con l'altro esercizio in cui ti sto guidando.
vedi che ci stiamo confondendo entrambi?? io ho parlato di sostituzioni non di soluzioni 
Benissimo! 
Tornando a noi hai capito come concludere?
Tornando a noi hai capito come concludere?
no... io sono rimasto alla condizione di ortogonalità... una volta che ho posto che ilrango sia =1 devo andarlo a verificare?
Sì, se tu intendessi individuare i coefficienti [tex]$a$[/tex]; [tex]$b$[/tex] e [tex]$c$[/tex] tali che il rango sia 1!
e come faccio ad individuare $a, b ,c$?
Basta ricordarti il significato del rango di una matrice!
ho chiesto alla prof perchè avevo dei dubbi sull'ortogonalità...apparte il suo commento stupido"Lascia stare internet che dicono un mare di cavolate"
mi ha detto che per trovare un piano passante per l'origine e ortogonale alla retta in questione
si pone ax+by+cz=0 per farla passare dall'origine
e considerando i parametri direttori della retta $\{(x=1+t),(y=-t),(z=2t):}$ si ha che $a=\rl,b=\rm,c=\rn$ e si scrive
$x-y+2z=0$ che è l'eq del piano passante per l'origine ortogonale alla retta!
Senza usare imporre il rango=1
mi ha detto che per trovare un piano passante per l'origine e ortogonale alla retta in questione
si pone ax+by+cz=0 per farla passare dall'origine
e considerando i parametri direttori della retta $\{(x=1+t),(y=-t),(z=2t):}$ si ha che $a=\rl,b=\rm,c=\rn$ e si scrive
$x-y+2z=0$ che è l'eq del piano passante per l'origine ortogonale alla retta!
Senza usare imporre il rango=1
Alla fine è quello che hai fatto equivale ad imporre uguale ad 1 il rango della matrice da te scritta; il metodo della prof è brutale, ovvero non è che ti faccia capire il perché è equivalente a quello che volevi fare!
Poi non è che t'abbia detto solo cavolate, anzi, visto che nel thread non ci sono richiami vuol dire che cavolate non ne abbia detta!
OUT OF SELF: la mia battuta finale è: se le prof fossero tutte esaurite quelle universitarie di geometria lo sarebbero particolarmente!
Poi non è che t'abbia detto solo cavolate, anzi, visto che nel thread non ci sono richiami vuol dire che cavolate non ne abbia detta!
OUT OF SELF: la mia battuta finale è: se le prof fossero tutte esaurite quelle universitarie di geometria lo sarebbero particolarmente!
lascia stare... che se fossi un assassino... da mo è che l'avrei sgozzata!!!
p.s cmq non ho detto che tu hai detto cavolate...anzi ti ringrazio x avermi seguito... ma mi fan girare le balle chi si pensa che internet dice fesserie ed è giusto solo quello che dice lei!
p.s cmq non ho detto che tu hai detto cavolate...anzi ti ringrazio x avermi seguito... ma mi fan girare le balle chi si pensa che internet dice fesserie ed è giusto solo quello che dice lei!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo