Trovare eq parabola da fascio di coniche tangenti

[loulou6]

Salve, ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Scrivere l’equazione della parabola avente la retta di equazione x − y = 0 come asse di simmetria e passante per i punti
O(0, 0) e A(1, 0).

Considerando il fascio di coniche che ha tangente in P(-1,-1,0), cioè nel punto improprio che ha come coordinate la direzione dell'asse di simmetria (questo stesso passaggio non mi è chiarissimo, ho impostato l'esercizio così perché ricordo di aver visto una impostazione del genere, ma non ho capito perché posso considerare che la parabola sia tangente a quel punto che ha proprio le coordinate uguali alla direzione dell'asse di simmetria della parabola), e passante per O e A, così dopo aver ottenuto il fascio basta ricavare k per trovare l'equazione specifica della mia parabola.

Però già qui ho dei dubbi, quali rette devo considerare per scrivere l'eq. del fascio?
e una volta trovata l'eq del fascio, che condizioni devo imporre per trovare la mia parabola? Se ho creato un fascio di coniche tali che tutte abbiano tangente in P e passino per O e A, che cosa distingue la mia parabola di partenza?
grazie in anticipo per l'aiuto.

[loulou6]

Grazie mille!