Trovare base ortonormale di R^4
Salve a tutti , in un vecchio esame di alcuni anni fa c'era questo esercizio:
Trovare una base ortonormale di $ R^4 $ (rispetto al prodotto scalare ordinario in $ R^4 $) contenente almeno tre autovettori della matrice $ A=( ( 1 , 3 , -3 , 3 ),( 0 , -2 , 0 , 0 ),( 3 , 3 , -5 , 3 ),( 3 , 3 , -3 , 1 ) ) $
La mia idea per risolverlo è questa:
1- calcolare gli autovalori della matrice A utilizzando Laplace sulla seconda riga, dal momento che è formata da tre zeri
2- ora che ho gli autovalori posso trovare gli autospazi formati dagli autovettori (in modo tale che una volta trovata la base ortonormale posso verificare che contiene almeno 3 autovettori della matrice A)
3- verifico se la base formata dagli autovettori dei vari autospazi è ortogonale, altrimenti tramite Gram Schmidt la rendo tale
4- normalizzo ogni vettore della base ortogonale ottenendo una base ortonormale
5- verifico effettivamente se questa base contiene almeno 3 autovettori della matrice.
Ora, vorrei capire se sono effettivamente questi i passaggi / le linee guida da seguire per risolvere questo esercizio, oppure se ci sono strade più brevi o facili. Inoltre vorrei sapere se esiste qualche modo per trovare gli autovettori senza dover calcolare il determinante di una matrice 4x4 , o se si bisogna sempre passare per la scomposizione del polinomio caratteristico.
Ringrazio fin da subito chiunque avesse voglia di rispondermi !
Trovare una base ortonormale di $ R^4 $ (rispetto al prodotto scalare ordinario in $ R^4 $) contenente almeno tre autovettori della matrice $ A=( ( 1 , 3 , -3 , 3 ),( 0 , -2 , 0 , 0 ),( 3 , 3 , -5 , 3 ),( 3 , 3 , -3 , 1 ) ) $
La mia idea per risolverlo è questa:
1- calcolare gli autovalori della matrice A utilizzando Laplace sulla seconda riga, dal momento che è formata da tre zeri
2- ora che ho gli autovalori posso trovare gli autospazi formati dagli autovettori (in modo tale che una volta trovata la base ortonormale posso verificare che contiene almeno 3 autovettori della matrice A)
3- verifico se la base formata dagli autovettori dei vari autospazi è ortogonale, altrimenti tramite Gram Schmidt la rendo tale
4- normalizzo ogni vettore della base ortogonale ottenendo una base ortonormale
5- verifico effettivamente se questa base contiene almeno 3 autovettori della matrice.
Ora, vorrei capire se sono effettivamente questi i passaggi / le linee guida da seguire per risolvere questo esercizio, oppure se ci sono strade più brevi o facili. Inoltre vorrei sapere se esiste qualche modo per trovare gli autovettori senza dover calcolare il determinante di una matrice 4x4 , o se si bisogna sempre passare per la scomposizione del polinomio caratteristico.
Ringrazio fin da subito chiunque avesse voglia di rispondermi !
Risposte
ciao,
per determinare gli autovettori la prassi è quella in algebra lineare
Gli autovalori sono 4 e distinti... pertanto è sicuramente diagonalizzabile...
Ad ogni modo, i passaggi sono corretti, devi prestare attenzione al fatto che devi determinare una base ortonormale di $R^4$, e non di $R^3$.
per determinare gli autovettori la prassi è quella in algebra lineare
Gli autovalori sono 4 e distinti... pertanto è sicuramente diagonalizzabile...
Ad ogni modo, i passaggi sono corretti, devi prestare attenzione al fatto che devi determinare una base ortonormale di $R^4$, e non di $R^3$.
ciao e grazie feddy ! per curiosità come fai a sapere che gli autovalori sono 4 e distinti ? ti sei calcolato $ det(A-lambda I) $ ?
si, pertanto avendo 4 autovalori distinti l'endomorfismo è sicuramente diagonalizzabile
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